差分

差分，又名差分函數或差分運算，一般是指有限差分（英語：Finite difference），是數學中的一個概念，將原函數 $f(x)$ 映射到 $f(x+a)-f(x+b)$ 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。

定義

差分分為前向差分和逆向差分。

前向差分

函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數 $\ f(x)$ ，如果在等距節點：

x_{k}=x_{0}+kh,(k=0,1,...,n)

\ \Delta f(x_{k})=f(x_{k+1})-f(x_{k})

則稱 $\ \Delta f(x)$ ，函數在每個小區間上的增量 $y_{k+1}-y_{k}$ 為 $\ f(x)$ 一階差分。^[1]

在微積分學中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。差分方程式的解法也與微分方程式的解法相似。當 $\ f(x)$ 是多項式時，前向差分為Delta算子（稱 $\Delta$ 為差分算子^[2]），一種線性算子。前向差分會將多項式階數降低 1。

逆向差分

對於函數 $\ f(x_{k})$ ，如果：

\ \nabla f(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k-1}).\,

則稱 $\ \nabla f(x_{k})$ 為 $\ f(x)$ 的一階逆向差分。

差分的階

一階差分的差分為二階差分，二階差分的差分為三階差分，其餘類推。記：

$\ \Delta ^{n}[f](x)$ 為 $\ f(x)$ 的 $\ n$ 階差分。

如果

$\ \Delta ^{n}[f](x)$	$\ =\Delta \{\Delta ^{n-1}[f](x)\}$
	$\ =\Delta ^{n-1}[f](x+1)-\Delta ^{n-1}[f](x)$

根據數學歸納法，有

\ \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)

其中， $\ {n \choose i}$ 為二項式係數。

特別的，有

\ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)

前向差分有時候也稱作數列的二項式轉換

差分的性質

對比解析函數中的微分的屬性，差分的性質有：

如果C為常數，則有

\Delta C=0

線性：如果 $\ a$ 和 $\ b$ 為常數，則有

\Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g

乘法定則(此處步長 $h\equiv 1$ )：

\Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g

\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g

除法定則：

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}^{-1}

\Delta \left({\dfrac {f}{g}}\right)={\dfrac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\Delta f&\Delta g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\Delta g\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}

或

\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}

\Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\Delta f-f\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}

級數：

\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)

\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)

牛頓級數

《自然哲學的數學原理》的第三編「宇宙體系」的引理五的圖例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由「牛頓前向差分方程式」的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編「宇宙體系」的引理五^[3]，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。