积分因子是一种用来解微分方程的方法。
考虑以下形式的微分方程:
![{\displaystyle y'+a(x)y=b(x)......(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb6f68662af31e243b5977b71deec33575deab4)
其中
是
的未知函数,
和
是给定的函数。
我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。
考虑函数
。我们把(1)的两边乘以
![{\displaystyle M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)......(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976bef413ca21eeb07fead9befb2411dc6b427e3)
如果左面是两个函数的乘积的导数,那么:
![{\displaystyle (M(x)y)'=M(x)b(x)......(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c00160b090f98478e542a951827d55ba3fa163)
两边积分,得:
![{\displaystyle y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8f4d6880db9047d6c502bade7d45d476e8964d)
其中
是一个常数。于是,
![{\displaystyle y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2228bd526ba3ca06024b40313b03a8804d6bb7)
为了求出函数
,我们把(3)的左面用乘法定则展开:
![{\displaystyle (M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x).\quad \quad \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a4d850d152ff4bcafbd7eda2a1f5c5c33861aa)
与(2)比较,可知
满足以下微分方程:
![{\displaystyle M'(x)=a(x)M(x)......(4)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdfaa0b672e2dbc1befcbbe982a3dce21eeba6c)
两边除以
,得:
![{\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0......(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc1dda178391d708ff41b31849a9a470afa9f16)
等式(5)是对数导数的形式。解这个方程,得:
![{\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd3eb8d63462c349d5924ede820e5ddc0f97145)
我们可以看到,
的性质在解微分方程中是十分重要的。
称为积分因子。
解微分方程
![{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2519160bb1d703086ff92b5e917deb44c4d13681)
我们可以看到,
:
![{\displaystyle M(x)=e^{\int a(x)\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0889126bbc11a687e4db6d556ce171f8abb843)
![{\displaystyle M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdea260c96e3cee3b9b71878a7e383c80402d4a3)
![{\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f241a0a2a0468d8442b40f28d40101a926bc64)
两边乘以
,得:
![{\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60982aace0946ad082e34f6c570908d6ec43222)
![{\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a0708192c9cd96d3489626cbc64252c3483316)
或
![{\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2f9ccbd2b76dfc4ef7e7c8b8b35e530acc78f0)
可得
![{\displaystyle y(x)=Cx^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0da07f3537f00e19936278731b305c2fc3908a)
一般的应用[编辑]
积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如,考虑以下的非线性二阶微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82a4a72314fc7307a6d6d2e2c34e581a096725f)
可以看到,
是一个积分因子:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d35c132ba56403e6f0f16071281c30777350a38)
利用复合函数求导法则,可得:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026f6fbe6bf6f42937ec9ba8256aa028126a3e24)
因此
![{\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d7133e2e903390ac86e98a0c110aa52197abc1)
利用分离变量法,可得:
![{\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd2be0c97d7d81c422f2627850632ca6b24db459)
这就是方程的通解。
参考文献[编辑]
- Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.