加托導數

数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于變分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。

定义

假设 $X$ 和 $Y$ 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间），$U\subset X$ 是開集合(open set)，且 $F:X\rightarrow Y$。 $F$ 在點 $u\in U$ 沿着 $\psi \in X$ 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) $dF(u,\psi )$ 定义为

$dF(u,\psi )=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}$

如果极限存在。固定 $u$ 若 $dF(u,\psi )$ 对于所有 $\psi \in X$ 都存在，则称 $F$ 在 $u\in U$ 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 $F$ 在 $u$ 是加托可微，稱 $dF(u,\cdot )$ 為在 $u$ 的加托導數。

称 $F$ 是在 $U$ 中连续可微的若

$dF:U\times X\rightarrow Y$

是连续的。

属性

若加托导数存在，则其为唯一。

对于每个$u\in U$，加托导数是一个算子$dF:X\rightarrow Y.$。 该算子是齐次的，使得

$dF(u,\alpha \psi )=\alpha dF(u,\psi )\,$，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。

例子

令 $X$ 为一个在欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 勒贝格可测集 $\Omega$ 上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是說 $X=\{u:\Omega \mapsto \mathbb {R} \mid \int _{\Omega }u^{2}<\infty ,\,\,\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是勒貝格可測集 $\}$。泛函 $E:X\rightarrow \mathbb {R}$ 由

$E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)dx$

给出，其中 $F$ 是一个定義在實數上的可微实值函数且 $F'=f\,$ 而 $u$ 為定義在 $\Omega$ 的實數值函數，则加托导数为

$dE(u,\psi )=(f(u),\psi ),\quad \quad (f(u),\psi )$ 這符號代表 $\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx\,$.

更詳細的說：

${\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)$

$\quad \quad ={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)$

$\quad \quad =\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx.$

令$\tau \rightarrow 0$ (并假设所有积分有定义)，得到加托导数

$dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,$

也就是，内积$(f(u),\psi ).\,$

参看

• 导数 (推广)

参考

• R Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. Comptes rendus de l'académie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913): 325–327. [2006-07-30]. （原始内容存档于2016-12-18） （法语）.