积分第一中值定理的内容为:
设
为一连续函数,
要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号,那么存在一点
使得
。
事实上,可以证明,上述的中值点
必能在开区间
内取得[1],见下方中值点在开区间内存在的证明。
因为
是闭区间上的连续函数,
取得最大值
和最小值
。于是
。
对不等式求积分,我们有
。
若
,则
。
可取
上任一点。
设
,那么
。
因为
是连续函数,根據介值定理,必存在一点
,使得
。
中值点在开区间内存在的证明[编辑]
已知
在
上连续,设
。
知
在
上连续,在
内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:
,其中![{\displaystyle \xi \in (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abeddc918baa404afdae198bfa6feea783f7e6e)
即
![{\displaystyle {\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca50b37e3d646c28aeb97e182cc098f057ac694c)
所以
。
参考文献[编辑]
- ^ 华东师范大学数学系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219页.
由微积分基本性质,当被积函数在[a,b]上连续时,原函数在[a,b]上是可导的,而拉格朗日定理的假设是“f(x)在(a,b)内可导"
所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续,在[a,b]内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:”应该改为
“知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,应用拉格朗日中值定理,可得:”
否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能
此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明,来解释为什么
可以改为
。
因为
在
上连续,所以
在
上有最大值
和最小值
。设
,
,
,![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766)
,如果
,则
是常值函数,任取
即可。如果
,由于函数
连续且有一点
使
,所以由积分性质有
,即
![{\displaystyle M(b-a)>\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0362c4f47a2967f1cd613c5abaa3396787674ac2)
同理可得
,故有
![{\displaystyle m<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx<M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8921579c8b2726060e2caba186369feebd4ffda8)
由连续函数的介值定理,至少存在一点
⊂
(或
⊂
),使得
,即
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971a77580618a659543518ce04bfad99bb806c25)
注:以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大.第四版 上册》
另请参见[编辑]