积分判别法,又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法,是判断一个实级数或数列收敛的方法。当
非负递减时,級數
收歛当且仅当積分
有限。在17、18世紀,馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西发展了這個方法。
考虑如下积分
![{\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac08027ecb7683e87ab347d0ed4a5fb4a4638049)
注意
单调递减,因此有:
![{\displaystyle f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacc8c00d92f51c007143c8f75f740cde2cc6a1)
进一步地,考虑如下求和:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}f(n+1)\leq \sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{k}f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687a27981ddc6f6e6a67cbb2eeee5b1453da2ea4)
中间项的和为:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx=\int _{1}^{k+1}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c66f301ba61248d5577905633e1a6a9470d3a1)
对上述不等式取极限
,有:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n+1)\leq \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1571cf42ff52da940f6725b5aad558707dc502ce)
因此,若积分
收敛,则无穷级数
收敛;若积分发散,则此级数发散。
调和级数
是发散的,因为它的原函数是自然对数:
,当
时。
而级数
则对所有的ε > 0都是收敛的,因为:
,对于所有![{\displaystyle M\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc05c54cf3f11a97ac1db17f2436c08523ea0e1)
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073