伯努利微分方程

伯努利微分方程是形式如 $y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$ 的常微分方程。

解法

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

代入 $w={y^{1-n}}\,$ （注意 $w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'$ ）：

${\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)$

此一阶常微分方程可用积分因子求解。

例子

解以下微分方程。

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

两边除以$y^{2}$，得：

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

利用分离变数法，可得：

$w={\frac {1}{y}}$

$w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.$

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}$

它可以用积分因子的方法来解出。

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.$

两边乘以$M(x)$，得：

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$

等式的左边是$wx^{2}$的导数。两边积分，得：

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

于是：

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}$

参见

• 里卡蒂方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 全微分方程
• 线性微分方程

外部链接

• Bernoulli equation. PlanetMath. 
• Differential equation. PlanetMath. 
• Index of differential equations. PlanetMath.