阿贝尔判别法(Abel test)是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式,一个是用来判断实数项级数的收敛,另一个是用来判断复数项级数的收敛。
实数项级数的阿贝尔判别法[编辑]
给定两个实数项数列
和
,如果数列满足
收敛
是单调且有界的
则级数
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da4118b971026424454fb80f2458ef9b4cac33)
收敛。
复数项级数的阿贝尔判别法[编辑]
一个相关的审敛法,也称为阿贝尔判别法,通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade6aa1879a22b426715883bd5f7fef3048ce71d)
而级数
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c1f2b44a973323b97113c3b5afc380710232ba)
在|z| < 1是收敛,而在|z| > 1时发散,系数{an}是正的实数,当n > m时单调递减并收敛于零,则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛,除了z = 1以外。当z = 1时,不能使用阿贝尔判别法,所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意,利用变量代换ζ = z/R,阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。[1]
假设z是单位圆上的一个点,z ≠ 1。则
![{\displaystyle z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bca448fba643f5db90b3a3cac67ebdbe7e3388a)
所以,对于任何两个正整数p > q > m,我们有
![{\displaystyle {\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)&=\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b68a66ba8e70d50d84678f687ecddd42386062)
其中Sp和Sq是部分和:
![{\displaystyle S_{p}=\sum _{n=0}^{p}a_{n}z^{n}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fee7412005d1d6b554637c91849523e1e033e5d)
但是,由于|z| = 1,而当n > m时,an是单调递减的正实数,我们又有
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)\right|&=\left|\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum _{n=q+2}^{p}\left|\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)\right]+a_{q+1}+a_{p}\\&=a_{q+1}-a_{p}+a_{q+1}+a_{p}=2a_{q+1}\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7567f95288bd57d289c2658b468559ae6c32c85)
现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛,因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值,而我们可以通过选择足够大的q,来使aq+1小于任何给定的ε > 0。
- ^ (Moretti, 1964, p. 91)
参考文献[编辑]
- Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964
外部链接[编辑]