隐函数

在數學中，隱式方程（英語：implicit equation）是形同 $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0$ 的關係，其中 $f$ 是多元函數。比如單位圓的隱式方程是 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 。

隱函数（implicit function）是由隱式方程間接定義的函數，比如 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ 是由 $x^{2}+y^{2}-1=0$ 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 $y=\cos(x)$ 。

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會給出定義良好的隱函數。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若 $f$ 是一个函数，那么 $f$ 的反函数记作 $f^{-1}$ , 是给出下面方程解的函数

x=f(y)

用 $x$ 表示 $y$ 。这个解是

y=f^{-1}(x).

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于 $y$ 的解

R(x,y)=x-f(y)=0.\,

例子

对数函数 $\ln x$ 给出方程 $x-e^{y}=0$ 或等价的 $x=e^{y}$ 的解 $y=\ln x$ 。这里 $f(y)=e^{y}$ 并且 $f^{-1}(x)=\ln x$ 。
朗伯W函數則可以解出 $x-ye^{y}=0$ 的 $y$ 值。

代数函数

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 $x$ 的代数函数给出一个方程中 $y$ 的解。

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,

其中係數 $a_{i}(x)$ 為 $x$ 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

x^{2}+y^{2}-1=0.\,

那麼 $y$ 的顯函數解顯然是：

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於 $y$ 的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解，但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,

但是，我们仍然可以以隐函数 $y=g(x)$ 的方式来表达。

隱函數的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法一

把 $n$ 元隐函数看作 $(n+1)$ 元函数，通过多元函数的偏导数的商求得 $n$ 元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数 $y=g(x)$ 看作二元函数 $f(x,y)=0$ ，若欲求 ${\frac {dy}{dx}}$ ，對 $f$ 取全微分，可得 $df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0$ ，經過移項可得 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

（式中 $f_{x}$ 表示 $f(x,y)$ 關於 $x$ 的偏导数 ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ ，以此類推）。

把2元隐函数 $y=g(x,z)$ 看作3元函数 $f(x,y,z)=0$ ，若欲求 ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ ，對 $f$ 取全微分，可得 $df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0$ 。

由於所求為 ${\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}$ ，令z為常數，即 $dz=0$ ，經過移項可得 ${\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}$

方法二

針對1元隱函數，把 $y$ 看作 $x$ 的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对 $x$ 求导，再通过移项求得 ${\frac {dy}{dx}}$ 的值。
針對2元隱函數，把 $y,z$ 看作 $x$ 的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对 $x$ 求导，令 $dz=0$ ，再通过移项求得 ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ 的值。

示例

針對 $y^{n}$ ：

${\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}$

針對 $x^{m}y^{n}$ ：

${\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}$

求 $\ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10$ 中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

${\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10$

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

${\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0$

2.移項處理。

${\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}$

3.提出導數因子。

${\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

4.移項處理。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}$