雙線性形式

在域$F$中，向量空間$V$的雙線性形式指的是一個$V\times V\rightarrow F$上的線性函數$B$，滿足：

$\forall v\in V$，映射：

$w\mapsto B(v,w)$

$w\mapsto B(w,v)$

都是線性的。這個定義也適用於交換環的模，這時線性函數要改為模同態。

注意一個雙線性形式是特別的雙線性映射。

坐標表示法

如果$V$是n維向量空間，設$C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$是$V$的一組基。定義$n\times n$ 階的矩陣$A$使得$(A_{ij})=B(e_{i},e_{j})$。當$n\times 1$ 的矩陣$x$和$y$表示向量$u$及$v$時，雙線性形式$B$可表示為:

$B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv}$

考慮另一組基 $C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S$ ，其中S是一個可逆的$n\times n$ 階矩陣（基底轉換矩陣），則雙線性形式在$C'$下的矩陣$A'$的形式為：

$A'=S^{T}\cdot A\cdot S$

對偶空間映射

${\textbf {V}}$的每一個雙線性形式$B$都定義了一對由$V$射到它的對偶空間$V^{*}$的線性函數。 定義$B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}$ ：

$B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,$

$B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,$

常常記作：

$B_{1}(v)=B(v,{-})\,$

$B_{2}(v)=B({-},v)\,$

這裡的(–)是放變量的位置。

如果$V$是有限維空間的話，$V$和它的雙對偶空間$V^{**}$是同構的，這時$B_{2}$是$B_{1}$的轉置映射（如果$V$是無限維空間，$B_{2}$限制在$V$在$V^{**}$的像下的部分是$B_{1}$的轉置映射）。 定義$B$的轉置映射為雙線性形式：

$B^{*}(v,w)=B(w,v).\,$

如果$V$是有限維空間，$B_{1}$及$B_{2}$的秩相等。如果他們的秩等於$V$的維數的話，$B_{1}$和$B_{2}$就是由$V$到$V^{*}$的同構映射（顯然$B_{1}$是同構若且唯若$B_{2}$是同構），此時，$B$是非退化的。實際上在有限維空間裡，這常常作為非退化的定義：$B$是非退化的若且唯若

$(\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.$

鏡像對稱性和正交性

雙線性形式$B:V\times V\rightarrow F$是鏡像對稱的若且唯若:

$B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0$

有了鏡像對稱性，就可以定義正交：兩個向量$v$和$w$關於一個鏡像對稱的雙線性形式正交若且唯若：

$B(v,w)=0\,$ 。

一個雙線性形式的根是指與所有其他向量都正交的向量的集合。一個矩陣表示為$x$的向量$v$屬於雙線性形式的根若且唯若$Ax=0\,$（等價於$x^{T}A=0\,$），根一般是$V$的子空間，

當$A$是非奇異矩陣，即當$B$是非退化時，根都是零子空間$\{0\}$。

設$W$是一個子空間，定義$W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}$。

當$B$是非退化時，映射$W\rightarrow W^{\perp }$是雙射，所以$W^{\perp }$的維數等於$\dim(V)-\dim(W)$。

可以證明，雙線性形式$B$是鏡像對稱的若且唯若它是以下兩者之一：

• 對稱的：$B(v,w)=B(w,v)\,$ $\forall v,w\in V\,$
• 交替(alternating)的：$B(v,v)=0\,$ $\forall v\in V\,$

每個交替形式都是斜對稱(skew-symmetric)（或稱反對稱(antisymmetric)）的，只要展開

$B(v+w,v+w)$就可看出。

當$F$的特徵不為2時，逆命題也是真的。斜對稱的形式必定交替。然而，當${\text{char}}(F)=2$時，斜對稱就是對稱，因此不全是交替的。

一個雙線性形式是對稱的(反對稱的)若且唯若它對應的矩陣是對稱的(反對稱的)。一個雙線性形式是交替的若且唯若它對應的矩陣是反對稱的，且主對角線上都是零。（在F的特徵不為2時的情況下）

一個雙線性形式是對稱的若且唯若$B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}$ 相等，是旋鈕對稱的若且唯若$B_{1}=-B_{2}$。${\text{char}}(F)\neq 2$時，一個雙線性形式可以按成對稱和反對稱部分分解：

$B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})$

其中$B^{*}$是$B$的轉置映射。

不同空間的推廣

這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

$B:V\times W\rightarrow F$。

此時仍有從$V$到$W$的對偶、及從$W$到$V$的對偶的映射。當$V$, $W$皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下$B$稱作完美配對。

張量積關係

由張量積的泛性質，$V$ 上的雙線性形式一一對映至線性映射 $V\otimes V\rightarrow F$：若 $B$ 是 $V$ 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出

$v\otimes w\mapsto B(v,w).$

所有從 $V\otimes V$ 到 $F$ 的線性映射構成 $V\otimes V$ 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：

$(V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.$

同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 $S^{2}V^{*}$的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪$\Lambda ^{2}V^{*}$的元素。

參見

• 雙線性映射
• 多線性映射
• 二次方程式
• 半雙線性形式

外部連結

• Bilinear form. PlanetMath.