双线性形式

在域$F$中，向量空间$V$的双线性形式指的是一个$V\times V\rightarrow F$上的线性函数$B$，满足：

$\forall v\in V$，映射：

$w\mapsto B(v,w)$

$w\mapsto B(w,v)$

都是线性的。这个定义也适用于交换环的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一个双线性形式是特别的双线性映射。

坐标表示法

如果$V$是n维向量空间，设$C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$是$V$的一组基。定义$n\times n$ 阶的矩阵$A$使得$(A_{ij})=B(e_{i},e_{j})$。当$n\times 1$ 的矩阵$x$和$y$表示向量$u$及$v$时，双线性形式$B$可表示为:

$B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv}$

考虑另一组基 $C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S$ ，其中S是一个可逆的$n\times n$ 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在$C'$下的矩阵$A'$的形式为：

$A'=S^{T}\cdot A\cdot S$

对偶空间映射

${\textbf {V}}$的每一个双线性形式$B$都定义了一对由$V$射到它的对偶空间$V^{*}$的线性函数。 定义$B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}$ ：

$B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,$

$B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,$

常常记作：

$B_{1}(v)=B(v,{-})\,$

$B_{2}(v)=B({-},v)\,$

这里的(–)是放变量的位置。

如果$V$是有限维空间的话，$V$和它的双对偶空间$V^{**}$是同构的，这时$B_{2}$是$B_{1}$的转置映射（如果$V$是无限维空间，$B_{2}$限制在$V$在$V^{**}$的像下的部分是$B_{1}$的转置映射）。 定义$B$的转置映射为双线性形式：

$B^{*}(v,w)=B(w,v).\,$

如果$V$是有限维空间，$B_{1}$及$B_{2}$的秩相等。如果他们的秩等于$V$的维数的话，$B_{1}$和$B_{2}$就是由$V$到$V^{*}$的同构映射（显然$B_{1}$是同构当且仅当$B_{2}$是同构），此时，$B$是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：$B$是非退化的当且仅当

$(\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.$

镜像对称性和正交性

双线性形式$B:V\times V\rightarrow F$是镜像对称的当且仅当:

$B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0$

有了镜像对称性，就可以定义正交：两个向量$v$和$w$关于一个镜像对称的双线性形式正交当且仅当：

$B(v,w)=0\,$ 。

一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为$x$的向量$v$属于双线性形式的根当且仅当$Ax=0\,$（等价于$x^{T}A=0\,$），根一般是$V$的子空间，

当$A$是非奇异矩阵，即当$B$是非退化时，根都是零子空间$\{0\}$。

设$W$是一个子空间，定义$W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}$。

当$B$是非退化时，映射$W\rightarrow W^{\perp }$是双射，所以$W^{\perp }$的维数等于$\dim(V)-\dim(W)$。

可以证明，双线性形式$B$是镜像对称的当且仅当它是以下两者之一：

• 对称的：$B(v,w)=B(w,v)\,$ $\forall v,w\in V\,$
• 交替(alternating)的：$B(v,v)=0\,$ $\forall v\in V\,$

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

$B(v+w,v+w)$就可看出。

当$F$的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当${\text{char}}(F)=2$时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当$B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}$ 相等，是旋钮对称的当且仅当$B_{1}=-B_{2}$。${\text{char}}(F)\neq 2$时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：

$B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})$

其中$B^{*}$是$B$的转置映射。

不同空间的推广

这套理论有很大一部分可推广到双线性映射的情形：

$B:V\times W\rightarrow F$。

此时仍有从$V$到$W$的对偶、及从$W$到$V$的对偶的映射。当$V$, $W$皆有限维，则只要其中之一是同构，另一个映射也是同构。在此情况下$B$称作完美配对。

张量积关系

由张量积的泛性质，$V$ 上的双线性形式一一对映至线性映射 $V\otimes V\rightarrow F$：若 $B$ 是 $V$ 上的双线性形，则相应的映射由下式给出

$v\otimes w\mapsto B(v,w).$

所有从 $V\otimes V$ 到 $F$ 的线性映射构成 $V\otimes V$ 的对偶空间，此时双线性形式遂可视为下述空间的元素：

$(V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.$

同理，对称双线性形式可想成二次对称幂 $S^{2}V^{*}$的元素，而交代双线性形式则可想成二次外幂$\Lambda ^{2}V^{*}$的元素。

参见

• 双线性映射
• 多线性映射
• 二次方程式
• 半双线性形式

外部链接

• Bilinear form. PlanetMath.