圓外切梯形

圓外切梯形

在歐幾里得幾何中，圓外切梯形（英語：Tangential trapezoid，也稱為切線梯形）是指存在內切圓的梯形，或者說有一對邊平行的圓外切四邊形。存在圓外切等腰梯形和圓外切直角梯形等子類型。菱形、正方形也可以看成是是特殊的圓外切梯形。

皮托定理：
${\begin{aligned}&|AB|+|CD|\\=&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC|+|DA|\end{aligned}}$

周長

根據皮托定理：圓外切四邊形對邊和相等，可得到圓外切梯形的兩腰長和與兩底長和相等，則周長 P 為

$\displaystyle P=2(a+b)=2(c+d)$

其中a, b分別為梯形的上下底長，c, d為兩腰長。

另外，半周長為$s=a+b=c+d$，中位線為$m=(a+b)/2=(c+d)/2$。

面積

將上述由皮托定理得出的半周長$\displaystyle s=a+b=c+d$代入梯形的半周長面積公式$S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}$，得到圓外切梯形的面積S為：

$S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}$

其中a、b為兩底長，c為任意一腰長。

由於圓外切梯形的高與內切圓直徑相等，則由中位線面積公式可得：

$S=mh=mD=2mr=(a+b)r=(c+d)r$

此外，設四條不同點出發的切線長為e, f, g, h，則面積為：

$S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h)=s{\sqrt[{4}]{efgh}}$

內切圓半徑

由四邊形內切圓半徑公式$r={\frac {S}{s}}$，和上述兩個面積公式得到：

$r={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}$

$r={\sqrt[{4}]{efgh}}$

更一般的，若e, f, g, h中，e, h、f, g分別是同一腰上的切線長，則根據梯形高與腰構成的直角三角形的勾股定理$(e+h)^{2}-(e-h)^{2}=4r^{2}=(f+g)^{2}-(f-g)^{2}$得到：

$r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}$

由此式能得到上述四切線長有關的半徑公式和面積公式。

圓外切直角梯形

底角為直角的圓外切梯形

圓外切直角梯形（英語：right tangential trapezoid）是指底角為直角的圓外切梯形，設其上下底長分別為a, b，則由皮托定理得出斜腰長$c=a+b-h=a+b-2r$，由斜腰三角形勾股定理$(a+b-2r)^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}$可得到內切圓半徑為：

$r={\frac {ab}{a+b}}$

內切圓的直徑與梯形的高相等，為上下底的調和平均數，暨$D=h={\frac {2ab}{a+b}}$

將上式代入梯形的面積公式$S={\frac {1}{2}}(a+b)h$，可得出面積為兩底長之積：

$\displaystyle S=ab$

同時，將上式代入斜腰三角形勾股定理$c^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}$，可得到$c^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{(a+b)^{2}}}$。

圓外切等腰梯形

兩腰相等的圓外切梯形一定是雙心四邊形

圓外切等腰梯形（英語：isosceles tangential trapezoid）是指兩腰相等的圓外切梯形，由於等腰梯形是一種圓內接四邊形，因此圓外切等腰梯形同時擁有內切圓和外接圓，暨圓外切等腰梯形屬於一類雙心四邊形，因此也稱為雙心梯形（英語：bicentric trapezoid）。

設兩底長為a, b，由皮托定理得出腰長為上下底的算術平均數，暨$c=(a+b)/2$，通過勾股定理$((a+b)/2)^{2}=(2r)^{2}+((a-b)/2)^{2}$可得到內切圓半徑為：

$r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}$

內切圓的直徑與梯形的高相等，為上下底的幾何平均數，暨$D=h={\sqrt {ab}}$

因此，圓外切等腰梯形也可以作為均值不等式中，算術平均數大於幾何平均數的幾何解釋。這一類問題也是日本算額中的常見問題。

將半徑代入圓外切四邊形面積公式$r={\frac {S}{s}}$，可以得到圓外切等腰梯形的面積為：

$S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b)$

另外，由均值不等式中，幾何平均數大於調和平均數可知，在兩底長a, b相同的情況下，圓外切等腰梯形的半徑、高、圓面積、梯形面積都大於圓外切直角梯形。

更一般的，在所有由相同a, b所構成的圓外切梯形中，圓外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨e, f, g, h中，e, h、f, g分別是同一腰上的切線長，$e+f=a$，$g+h=b$，$r^{2}={\sqrt {efgh}}\leq {\tfrac {ab}{4}}$，若且唯若e=f，g=h時取等於號，此時兩腰相等。