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圆外切梯形

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圆外切梯形

欧几里得几何中,圆外切梯形(英语:Tangential trapezoid,也称为切线梯形)是指存在内切圆梯形,或者说有一对边平行圆外切四边形[1]。存在圆外切等腰梯形圆外切直角梯形等子类型。菱形正方形也可以看成是是特殊的圆外切梯形。

皮托定理

周长

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根据皮托定理圆外切四边形对边和相等,可得到圆外切梯形的两腰长和与两底长和相等,则周长 P[2]

其中a, b分别为梯形的上下底长,c, d为两腰长。

另外,半周长为,中位线为

面积

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将上述由皮托定理得出的半周长代入梯形的半周长面积公式,得到圆外切梯形的面积S为[3]

其中a、b为两底长,c为任意一腰长。

由于圆外切梯形的高与内切圆直径相等,则由中位线面积公式可得:

此外,设四条不同点出发的切线长为e, f, g, h,则面积为[4]:p.129

内切圆半径

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由四边形内切圆半径公式,和上述两个面积公式得到:

更一般的,若e, f, g, h中,e, hf, g分别是同一腰上的切线长,则根据梯形高与腰构成的直角三角形的勾股定理得到[5]

由此式能得到上述四切线长有关的半径公式和面积公式。

圆外切直角梯形

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底角为直角的圆外切梯形

圆外切直角梯形(英语:right tangential trapezoid)是指底角为直角的圆外切梯形,设其上下底长分别为a, b,则由皮托定理得出斜腰长,由斜腰三角形勾股定理可得到内切圆半径为[2]

内切圆的直径与梯形的高相等,为上下底的调和平均数,暨

将上式代入梯形的面积公式,可得出面积为两底长之积[2]

同时,将上式代入斜腰三角形勾股定理,可得到

圆外切等腰梯形

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两腰相等的圆外切梯形一定是双心四边形

圆外切等腰梯形(英语:isosceles tangential trapezoid)是指两腰相等的圆外切梯形,由于等腰梯形是一种圆内接四边形,因此圆外切等腰梯形同时拥有内切圆和外接圆,暨圆外切等腰梯形属于一类双心四边形

设两底长为a, b,由皮托定理得出腰长为上下底的算术平均数,暨,通过勾股定理可得到内切圆半径为[6]

内切圆的直径与梯形的高相等,为上下底的几何平均数,暨

因此,圆外切等腰梯形也可以作为均值不等式中,算术平均数大于几何平均数的几何解释。这一类问题也是日本算额中的常见问题。

将半径代入圆外切四边形面积公式,可以得到圆外切等腰梯形的面积为[7]

另外,由均值不等式中,几何平均数大于调和平均数可知,在两底长a, b相同的情况下,圆外切等腰梯形的半径、高、圆面积、梯形面积都大于圆外切直角梯形。

更一般的,在所有由相同a, b所构成的圆外切梯形中,圆外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨e, f, g, h中,e, hf, g分别是同一腰上的切线长,,当且仅当e=f,g=h时取等于号,此时两腰相等。

参考文献

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  1. ^ R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,单墫 译,第158页,上海教育出版社,ISBN 7-5320-6392-5
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Math Message Boards FAQ & Community Help | AoPS. artofproblemsolving.com. [2022-02-10]. 
  3. ^ H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.
  4. ^ Josefsson, Martin, Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 2010, 10: 119–130 .
  5. ^ Josefsson, Martin, The diagonal point triangle revisited (PDF), Forum Geometricorum, 2014, 14: 381–385 .
  6. ^ Inscribed Circle and Trapezoid | Mathematical Association of America. www.maa.org. [2022-02-10]. 
  7. ^ Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.