圆外切梯形

圆外切梯形

在欧几里得几何中，圆外切梯形（英語：Tangential trapezoid，也称为切线梯形）是指存在内切圆的梯形，或者说有一对边平行的圆外切四边形。存在圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形等子类型。菱形、正方形也可以看成是是特殊的圆外切梯形。

皮托定理：
${\begin{aligned}&|AB|+|CD|\\=&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC|+|DA|\end{aligned}}$

周长

根据皮托定理：圆外切四边形对边和相等，可得到圆外切梯形的两腰长和与两底长和相等，则周长 P 为

$\displaystyle P=2(a+b)=2(c+d)$

其中a, b分别为梯形的上下底长，c, d为两腰长。

另外，半周长为$s=a+b=c+d$，中位线为$m=(a+b)/2=(c+d)/2$。

面积

将上述由皮托定理得出的半周长$\displaystyle s=a+b=c+d$代入梯形的半周长面积公式$S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}$，得到圆外切梯形的面积S为：

$S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}$

其中a、b为两底长，c为任意一腰长。

由于圆外切梯形的高与内切圆直径相等，则由中位线面积公式可得：

$S=mh=mD=2mr=(a+b)r=(c+d)r$

此外，设四条不同点出发的切线长为e, f, g, h，则面积为：

$S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h)=s{\sqrt[{4}]{efgh}}$

内切圆半径

由四边形内切圆半径公式$r={\frac {S}{s}}$，和上述两个面积公式得到：

$r={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}$

$r={\sqrt[{4}]{efgh}}$

更一般的，若e, f, g, h中，e, h、f, g分别是同一腰上的切线长，则根据梯形高与腰构成的直角三角形的勾股定理$(e+h)^{2}-(e-h)^{2}=4r^{2}=(f+g)^{2}-(f-g)^{2}$得到：

$r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}$

由此式能得到上述四切线长有关的半径公式和面积公式。

圆外切直角梯形

底角为直角的圆外切梯形

圆外切直角梯形（英語：right tangential trapezoid）是指底角为直角的圆外切梯形，设其上下底长分别为a, b，则由皮托定理得出斜腰长$c=a+b-h=a+b-2r$，由斜腰三角形勾股定理$(a+b-2r)^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}$可得到内切圆半径为：

$r={\frac {ab}{a+b}}$

内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的调和平均数，暨$D=h={\frac {2ab}{a+b}}$

将上式代入梯形的面积公式$S={\frac {1}{2}}(a+b)h$，可得出面积为两底长之积：

$\displaystyle S=ab$

同时，将上式代入斜腰三角形勾股定理$c^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}$，可得到$c^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{(a+b)^{2}}}$。

圆外切等腰梯形

两腰相等的圆外切梯形一定是双心四边形

圆外切等腰梯形（英語：isosceles tangential trapezoid）是指两腰相等的圆外切梯形，由于等腰梯形是一种圆内接四边形，因此圆外切等腰梯形同时拥有内切圆和外接圓，暨圆外切等腰梯形属于一类双心四边形，因此也称为双心梯形（英語：bicentric trapezoid）。

设两底长为a, b，由皮托定理得出腰长为上下底的算术平均数，暨$c=(a+b)/2$，通过勾股定理$((a+b)/2)^{2}=(2r)^{2}+((a-b)/2)^{2}$可得到内切圆半径为：

$r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}$

内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的几何平均数，暨$D=h={\sqrt {ab}}$

因此，圆外切等腰梯形也可以作为均值不等式中，算术平均数大于几何平均数的几何解释。这一类问题也是日本算額中的常见问题。

将半径代入圆外切四边形面积公式$r={\frac {S}{s}}$，可以得到圆外切等腰梯形的面积为：

$S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b)$

另外，由均值不等式中，几何平均数大于调和平均数可知，在两底长a, b相同的情况下，圆外切等腰梯形的半径、高、圆面积、梯形面积都大于圆外切直角梯形。

更一般的，在所有由相同a, b所构成的圆外切梯形中，圆外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨e, f, g, h中，e, h、f, g分别是同一腰上的切线长，$e+f=a$，$g+h=b$，$r^{2}={\sqrt {efgh}}\leq {\tfrac {ab}{4}}$，当且仅当e=f，g=h时取等于号，此时两腰相等。