使用者:JasonWiki/Drafts/201710/線性空間

主條目：線性空間

子空間基底

主條目：線性無關、基底和維數

向量組的線性無關

如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在W之中），那麼將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間${0}$。

給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空間就是向量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$，那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots$

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是n）中，確定一組基$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$，那麼所有的向量都可以用n個純量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$

那麼v可以用數組$v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

$e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$ $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$ $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$

可以證明，存在從任意一個n維的$\mathbf {F}$-向量空間到空間$\mathbf {F} ^{n}$的雙射。這種關係稱為同構。