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子空间基底

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向量组的线性无关

如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间${0}$。

给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。

给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。

可以生成一个向量空间V的线性独立子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$，那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots$

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基$\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

$v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$

那么v可以用数组$v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

$e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$ $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$ $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$

可以证明，存在从任意一个n维的$\mathbf {F}$-向量空间到空间$\mathbf {F} ^{n}$的双射。这种关系称为同构。