角平分線長公式

三角形的內、外角平分線

在平面幾何中，角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形 $\triangle {ABC}$ 中，$\angle A$ 的內角平分線交對邊 $BC$ 於點 $D$ ，外角平分線交直線 $BC$ 於點 $E$ ，則三角形的內、外角平分線的長度為：

$AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}$

$AE={\sqrt {EB\cdot EC-AB\cdot AC}}$

若記 $BC$ 邊長為 $a$ ，$AC$ 邊長為 $b$ ，$AB$ 邊長為 $c$ ，記內角平分線 $AD$ 長為 $t_{a}$ ，外角平分線 $AE$ 長為 $t_{a}'$ ，則三角形的內、外角平分線的長度可以表示為：

$t_{a}={\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}$

$={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}$

$={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}$

$t_{a}'={\sqrt {bc({a^{2} \over (b-c)^{2}}-1)}}$

$={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}$

$={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}$

證明

三角形ABC以及關於角A的平分線

內角平分線長

作 $\angle A$ 的內角平分線交對邊 $BC$ 於點 $D$ 。延長 ${\overline {AD}}$ 至點 $E$ ，使 $\angle AEB=\angle ACD$ 。

$\triangle AEB\sim \triangle ACD\Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC$

$\triangle DEB\sim \triangle DCA\Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC$

$AD^{2}=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC$

得內角平分線長公式（i）：

$AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}$

外角平分線長

作 $\angle A$ 的外角平分線交直線 $BC$ 於點 $D'$ 。延長 ${\overline {D'A}}$ 至點 $E'$ ，使 $\angle AE'B=\angle ACD'$ 。

$\triangle AE'B\sim \triangle ACD'\Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC$

$\triangle D'E'B\sim \triangle D'CA\Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C$

$AD'^{2}=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC$

得外角平分線長公式（i）：

$AD'={\sqrt {D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}}$

推導

根據角平分線定理，有：

$DB={ac \over b+c},\ DC={ab \over b+c}$

$D'B={ac \over |b-c|},\ D'C={ab \over |b-c|}$

代入式（i），得到角平分線長公式（ii）：

$t_{a}={\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}$

$t_{a}'={\sqrt {bc({a^{2} \over (b-c)^{2}}-1)}}$

將餘弦公式代入式（ii），得到角平分線長公式（iii）：

$t_{a}={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}$

$t_{a}'={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}$

將半角公式代入式（iii），得到角平分線長公式（iv）：

$t_{a}={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}$

$t_{a}'={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}$

與其他定理的關係

斯圖爾特定理

角平分線長公式是斯圖爾特定理的特殊情況，或者說推論。根據斯圖爾特定理，對於三角形 $\triangle {ABC}$ 的任意一邊 $BC$ 上的任意一點 $D$ ，有：

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {DC \over BC}+AC^{2}\cdot {DB \over BC}-DB\cdot DC$

當點 $D$ 是內角平分線足時，根據角平分線定理，有：

${AB \over DB}={AC \over DC}={AB+AC \over BC}$

聯立之後，即可得到內角平分線長公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分線長公式（i）或（ii）。

施泰納-萊穆斯定理

利用角平分線長公式，可以證明施泰納-萊穆斯定理——有兩條內角平分線長度相等的三角形是等腰三角形。

$t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}$

化簡後得到： $c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0$

連乘的其他各項都為正數，從而推出： $a-b=0$

名稱

在歐美，角平分線長公式沒有特殊的名稱。在中國大陸，內角平分線長公式（i）被稱為「斯庫頓定理」，歸功於荷蘭數學家弗蘭斯·范斯霍滕。而在歐美，范斯霍滕定理指的是等邊三角形外接圓的一個性質，與三角形角平分線無關。

參見

• 中線長公式
• 角平分線定理

參考文獻