角平分线长公式

三角形的内、外角平分线

在平面几何中，角平分线长公式是计算三角形内、外角平分线长度的公式。在三角形 $\triangle {ABC}$ 中，$\angle A$ 的内角平分线交对边 $BC$ 于点 $D$ ，外角平分线交直线 $BC$ 于点 $E$ ，则三角形的内、外角平分线的长度为：

$AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}$

$AE={\sqrt {EB\cdot EC-AB\cdot AC}}$

若记 $BC$ 边长为 $a$ ，$AC$ 边长为 $b$ ，$AB$ 边长为 $c$ ，记内角平分线 $AD$ 长为 $t_{a}$ ，外角平分线 $AE$ 长为 $t_{a}'$ ，则三角形的内、外角平分线的长度可以表示为：

$t_{a}={\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}$

$={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}$

$={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}$

$t_{a}'={\sqrt {bc({a^{2} \over (b-c)^{2}}-1)}}$

$={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}$

$={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}$

证明

三角形ABC以及关于角A的平分线

内角平分线长

作 $\angle A$ 的内角平分线交对边 $BC$ 于点 $D$ 。延长 ${\overline {AD}}$ 至点 $E$ ，使 $\angle AEB=\angle ACD$ 。

$\triangle AEB\sim \triangle ACD\Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC$

$\triangle DEB\sim \triangle DCA\Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC$

$AD^{2}=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC$

得内角平分线长公式（i）：

$AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}$

外角平分线长

作 $\angle A$ 的外角平分线交直线 $BC$ 于点 $D'$ 。延长 ${\overline {D'A}}$ 至点 $E'$ ，使 $\angle AE'B=\angle ACD'$ 。

$\triangle AE'B\sim \triangle ACD'\Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC$

$\triangle D'E'B\sim \triangle D'CA\Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C$

$AD'^{2}=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC$

得外角平分线长公式（i）：

$AD'={\sqrt {D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}}$

推导

根据角平分线定理，有：

$DB={ac \over b+c},\ DC={ab \over b+c}$

$D'B={ac \over |b-c|},\ D'C={ab \over |b-c|}$

代入式（i），得到角平分线长公式（ii）：

$t_{a}={\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}$

$t_{a}'={\sqrt {bc({a^{2} \over (b-c)^{2}}-1)}}$

将余弦公式代入式（ii），得到角平分线长公式（iii）：

$t_{a}={bc \over b+c}{\sqrt {2+2\cos A}}$

$t_{a}'={bc \over |b-c|}{\sqrt {2-2\cos A}}$

将半角公式代入式（iii），得到角平分线长公式（iv）：

$t_{a}={2bc \over b+c}\cdot \cos {A \over 2}$

$t_{a}'={2bc \over |b-c|}\cdot \sin {A \over 2}$

与其他定理的关系

斯图尔特定理

角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况，或者说推论。根据斯图尔特定理，对于三角形 $\triangle {ABC}$ 的任意一边 $BC$ 上的任意一点 $D$ ，有：

$AD^{2}=AB^{2}\cdot {DC \over BC}+AC^{2}\cdot {DB \over BC}-DB\cdot DC$

当点 $D$ 是内角平分线足时，根据角平分线定理，有：

${AB \over DB}={AC \over DC}={AB+AC \over BC}$

联立之后，即可得到内角平分线长公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分线长公式（i）或（ii）。

施泰纳-莱穆斯定理

利用角平分线长公式，可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形。

$t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}$

化简后得到： $c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0$

连乘的其他各项都为正数，从而推出： $a-b=0$

名称

在欧美，角平分线长公式没有特殊的名称。在中国大陆，内角平分线长公式（i）被称为“斯库顿定理”，归功于荷兰数学家弗兰斯·范斯霍滕。而在欧美，范斯霍滕定理指的是等边三角形外接圆的一个性质，与三角形角平分线无关。

参见

• 中线长公式
• 角平分线定理

参考文献