自然對數

自然對數$\ln(x)$的函數圖像

自然對數$\ln(x)$的積分定義

自然對數（英語：Natural logarithm）為以數學常數e為底數的對數函數，標記作$\ln x$或$\log _{e}x$，其反函數為指數函數$e^{x}$。

自然對數積分定義為對任何正實數$x$，由$1$到$x$所圍成，$xy=1$曲線下的面積。如果$x$小於1，則計算面積為負數。

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,$

$e$則定義為唯一的實數$x$使得$\ln x=1$。

自然對數一般表示為$\ln x\!$，數學中亦有以$\log x\!$表示自然對數。

歷史

十七世紀

雙曲線扇形是笛卡兒平面$\{(x,y)\}$上的一個區域，由從原點到${\textstyle (a,{\frac {1}{a}})}$和${\textstyle (b,{\frac {1}{b}})}$的射線，以及雙曲線$xy=1$圍成。在標準位置的雙曲線扇形有$a=1$且$b>1$，它的面積為$\ln(b)$，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。

當直角雙曲線下的兩段面積相等時，$x$的值呈等比數列，${\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}=k}$，$y$的值也呈等比數列，${\textstyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}}{x_{0}}}={\frac {1}{k}}}$。

約翰·納皮爾在1614年以及約斯特·比爾吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.9999999^10000000相當接近${\textstyle {\frac {1}{e}}}$，而約斯特·比爾吉的底數1.0001¹⁰⁰⁰⁰相當接近自然對數的底數$e$。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，亨利·布里格斯建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如$f(x)=x^{p}$的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況$p=-1$對應於雙曲線的弓形面積，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式給出，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年聖文森特的格列高利將對數聯繫於雙曲線$xy=1$的弓形面積，他發現x軸上$[a,b]$兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同$[c,d]$對應的扇形，在${\textstyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$時面積相同，這指出了雙曲線從$x=1$到$x=t$的積分$f(t)$滿足：

$f(tu)=f(t)+f(u)\,$

1649年，薩拉薩的阿爾豐斯·安東尼奧將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將${\textstyle {\frac {1}{1+x}}}$展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。「自然對數」最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世紀

大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為：

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},$

$\ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)$

1742年威廉·瓊斯發表了現在的冪指數概念。

形式定義

歐拉定義自然對數為序列的極限：

$\ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right).$

$\ln(a)$正式定義為積分，

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).\,\!$

這可以通過將定義了$\ln(ab)$的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元$x=ta$來證實:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}\;d(at)$

$=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b).$

冪公式$\ln(t^{r})=r\ln(t)$可如下推出:

$\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}d\left(u^{r}\right)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{u^{r}}}\left(ru^{r-1}\,du\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{u}}\,du=r\ln(t).$

第二個等式使用了換元$u=x^{\frac {1}{r}}$。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：

$\ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right).$

性質

• $\ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,$
• $\operatorname {ln} (-1)=i\pi \,$

(參見複數對數)

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,$
• $\ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,$
• $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,$

證明
$\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+h)-\ln 1}{h}}={\frac {d}{dx}}\ln x{\Bigg |}_{x=1}=1$

導數

自然對數的圖像和它在$x=1.5$處的切線。

$\ln(1+x)$的泰勒多項式只在$-1<x\leq 1$範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數為

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

證明一（微積分第一基本定理）:${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}$

證明二：按此影片（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad$

$=\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}$

設$u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h$

${\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{ux}}$

$=\lim _{u\to 0}\ln \left[(1+u)^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}$

$={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln(1+u)^{\frac {1}{u}}$

設$n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$={\frac {1}{x}}\ln \left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

$={\frac {1}{x}}\ln e$

$={\frac {1}{x}}$

用自然對數定義的更一般的對數函數，$\log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}$，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.$

根據連鎖法則，以$f(x)$為參數的自然對數的導數為

${\frac {d}{dx}}\ln[f(x)]={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

右手端的商叫做$f$的對數導數，通過$\ln(f(x))$的導數的方法計算$f'(x)$叫做對數微分。

冪級數

自然對數的導數性質導致了$\ln(1+x)$在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots$

對於所有$\left|x\right|\leq 1,$但不包括$x=-1.$

把$x-1$代入$x$中，可得到$\ln(x)$自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何$x$有效的如下級數:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots \,.$

這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式。

還要注意到$x \over {x-1}$是自身的逆函數，所以要生成特定數$y$的自然對數，簡單把$x \over {x-1}$代入$x$中。

$\ln {x}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}\left({x-1 \over x}\right)^{n}=\left({x-1 \over x}\right)+{1 \over 2}\left({x-1 \over x}\right)^{2}+{1 \over 3}\left({x-1 \over x}\right)^{3}+\cdots \,$

對於$\operatorname {Re} (x)\geq {\frac {1}{2}}\,.$

自然數的倒數的總和

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當$n$趨於無窮的時候，差

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

收斂於歐拉-馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。

積分

自然對數通過分部積分法積分:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

假設:

$u=\ln(x)\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}$

$dv=dx\Rightarrow v=x\,$

所以:

${\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}$

自然對數可以簡化形如$g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}$的函數的積分：$g(x)$的一個原函數給出為$\ln(\left\vert f(x)\right\vert )$。這是基於連鎖法則和如下事實:

$\ {d \over dx}\ln \left|x\right|={1 \over x}.$

換句話說，

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

且

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

例子

下面是$g(x)=\tan x$的例子：

${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\sin x \over \cos x}\,dx\\&=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.\\\end{aligned}}$

設$f(x)=\cos x$且$f'(x)=-\sin x$：

${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=-\ln {\left|\cos x\right|}+C\\&=\ln {\left|\sec x\right|}+C\\\end{aligned}}$

與雙曲函數的關係

在直角雙曲線(方程式$y={\frac {1}{x}}$)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角$u$的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中$\cosh$和$\sinh$的${\sqrt {2}}$倍。

射線出原點交單位雙曲線$\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$於點$\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$，這裡的$\scriptstyle a$是射線、雙曲線和$\scriptstyle x$軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線$xy=1$下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線$y=x$上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角$u$，在漸近線即x或y軸上需要有的$x$或$y$的值。顯見這裡的底邊是$\left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$，垂線是$\left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}$。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

• $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
• $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線$xy=1$下雙曲角的${\frac {1}{2}}$。

連分數

儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

${\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\\\end{aligned}}$

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為$2=1.25^{3}\times 1.024$，2的自然對數可以計算為:

${\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}$

進而，因為$10=1.25^{10}\times 1.024^{3}$，10的自然對數可以計算為:

${\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\\\end{aligned}}$

複數對數

主條目：複數對數

指數函數可以擴展為對任何複數$x$得出複數值為$e^{x}$的函數，只需要簡單使用$x$為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在$x$使得$e^{x}=0$；並且有著$e^{2\pi i}=1=e^{0}$。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，$e^{z}=e^{z+2n\pi i}$，對於所有複數$z$和整數$n$。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加$2\pi i$的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，$\log i={\frac {1}{2}}\pi i$或${\frac {5}{2}}\pi i$或$-{\frac {3}{2}}\pi i$等等；儘管$i^{4}=1$，$4\log =i$不能定義為$2\pi i$或$10\pi i$或$-6\pi i$，以此類推。

• 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖
• 
  z=Re(ln(x+iy))
• 
• 
• 
  前三圖的疊加

主值定義

對於每個非0複數$z=x+yi$，主值$\log z$是虛部位於區間$(-\pi ,\pi ]$內的對數。表達式$\log 0$不做定義，因為沒有複數$w$滿足$e^{w}=0$。

要對$\log z$給出一個公式，可以先將$z$表達為極坐標形式，$z=re^{i\theta }$。給定$z$，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向$\theta$增加$2\pi$的整數倍，所以為了保證唯一性而要求$\theta$位於區間$(-\pi ,\pi ]$內；這個$\theta$叫做幅角的主值，有時寫為$\operatorname {arg} z$或$\operatorname {atan} 2(y,x)$。則對數的主值可以定義為 ：

$\operatorname {Log} z:={\text{ln }}r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\operatorname {ln} {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).$

例如，$\operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-{\frac {\pi i}{2}}$。

科學應用

自然指數有應用於表達放射衰變（放射性）之類關於衰減的過程，如放射性原子數目的微分方程式$N$隨時間變化率${\frac {dN}{dt}}=-pN$，常數$p$為原子衰變機率，積分得$N(t)=N(0)\exp(-pt)$。

延伸閱讀

• John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
• Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
• Donald Sarason, Complex function theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.