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等對角線四邊形

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等軸四邊形,紅色為對角線,藍色為雙中線,其伐里農平行四邊形菱形

歐幾里得幾何中,等對角線四邊形(英語:Equidiagonal quadrilateral,也稱為等軸四邊形)是指對角線長相等的凸四邊形。等軸四邊形是古印度數學中的重要概念,古印度數學家把四邊形先分為等軸和非等軸,再往下分類[1]。換句話說,就是將等腰梯形矩形等分為一類,直角梯形菱形等分為另一類。

特殊例子

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等對角線四邊形包含等腰梯形矩形正方形

周長-直徑比最大的等軸鳶形內接於勒洛三角形

周長-直徑比最大的四邊形是內角為π/3、5π/12、5π/6和5π/12的等軸鳶形[2]

特徵

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若且唯若凸四邊形的伐里農平行四邊形(由四邊的中點連接而成的平行四邊形)為菱形,則它是等對角線的,相當於此凸四邊形的雙中線(伐里農平行四邊形的對角線)互相垂直[3]

設某凸四邊形的對角線長度為,雙中線長度,則它是等對角線的,若且唯若[4]:Prop.1

面積

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等對角線四邊形的面積K可以用其雙中線長度mn求出。某四邊形是等對角線的,若且唯若[5]:p.19; [4]:Cor.4

這是因為凸四邊形的面積是其伐里農平行四邊形的兩倍,以及此平行四邊形的對角線是此凸四邊形的雙中線。根據雙中線長度的公式,等對角線四邊形的面積可以用四邊邊長以及對角線中點的距離表示:[5]:p.19

在凸四邊形的面積公式中設p = q,也可以得到其他面積公式。

與其它四邊形的關係

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若且唯若平行四邊形是矩形,則它是等對角線的[6]

等對角線四邊形和正交四邊形對偶關係,若且唯若四邊形的伐里農平行四邊形是正交的(菱形),則它是等軸的;若且唯若它的伐里農平行四邊形是等軸的(矩形),則它是正交的[3]。換言之,若且唯若四邊形的雙中線互相垂直,則它的對角線相等;若且唯若四邊形的雙中線互相相等,則它的對角線互相垂直。

等腰梯形

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對角線相等的圓外切四邊形必定是圓外切等腰梯形

通過全等三角形(SSS),易證若且唯若梯形等腰梯形時,則它的對角線相等。同樣,通過全等三角形(SAS)易得圓內接四邊形對角線相等時必定是等腰梯形。

圓外切四邊形的對角線長p, q與四個頂點出發的切線長e, f, g, h的關係為 [7]:Lemma2

當p=q時,兩邊平方,相減後可得,暨一對對邊長相等,通過全等三角形(SSS)可得其為等腰梯形,暨對角線相等的圓外切四邊形必定是圓外切等腰梯形

中方四邊形

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在所有四邊形中,等軸正交四邊形(對角線的長度大於或等於所有邊)的直徑-面積比最高,所以是最大面積最小直徑四邊形英語biggest little polygon問題中n = 4的解。正方形是其中一例,但此類四邊形有無限個。等軸正交四邊形也稱作中方四邊形(英語:midsquare quadrilateral[4]:p. 137,因為它們是唯一一種伐里農平行四邊形為正方形的四邊形。設此類四邊形的相鄰邊長為,則其面積等於[4]:Thm.16

中方平行四邊形即是正方形。

參考文獻

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  1. ^ Colebrooke, Henry-Thomas, Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara, John Murray: 58, 1817 .
  2. ^ Ball, D.G., A generalisation of π, Mathematical Gazette, 1973, 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052 , Griffiths, David; Culpin, David, Pi-optimal polygons, Mathematical Gazette, 1975, 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699 .
  3. ^ 3.0 3.1 de Villiers, Michael, Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning: 58, 2009, ISBN 9780557102952 .
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Josefsson, Martin, Properties of equidiagonal quadrilaterals, Forum Geometricorum, 2014, 14: 129–144 [2024-09-14], (原始內容存檔於2024-06-05) .
  5. ^ 5.0 5.1 Josefsson, Martin, Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles (PDF), Forum Geometricorum, 2013, 13: 17–21 [2024-09-14], (原始內容 (PDF)存檔於2024-03-24) .
  6. ^ Gerdes, Paulus, On culture, geometrical thinking and mathematics education, Educational Studies in Mathematics, 1988, 19 (2): 137–162, JSTOR 3482571, doi:10.1007/bf00751229 .
  7. ^ Hajja, Mowaffaq, A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic (PDF), Forum Geometricorum, 2008, 8: 103–106 [2024-09-18], (原始內容 (PDF)存檔於2019-11-26) .