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等对角线四边形

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等軸四邊形,红色为对角线,蓝色为双中线,其伐里農平行四邊形菱形

欧几里得几何中,等对角线四边形(英語:Equidiagonal quadrilateral,也称为等軸四邊形)是指对角线长相等的凸四边形。等軸四邊形是古印度数学中的重要概念,古印度数学家把四边形先分为等轴和非等轴,再往下分类[1]。换句话说,就是将等腰梯形矩形等分为一类,直角梯形菱形等分为另一类。

特殊例子

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等对角线四边形包含等腰梯形矩形正方形

周长-直径比最大的等轴鷂形内接于勒洛三角形

周长-直径比最大的四边形是内角为π/3、5π/12、5π/6和5π/12的等轴鷂形[2]

特征

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当且仅当凸四边形的伐里農平行四邊形(由四边的中点连接而成的平行四边形)为菱形,则它是等对角线的,相当于此凸四边形的双中线(伐里農平行四邊形的对角线)互相垂直[3]

设某凸四边形的对角线长度为,双中线长度,则它是等对角线的,当且仅当[4]:Prop.1

面积

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等对角线四边形的面积K可以用其双中线长度mn求出。某四边形是等对角线的,当且仅当[5]:p.19; [4]:Cor.4

这是因为凸四边形的面积是其伐里農平行四邊形的两倍,以及此平行四邊形的对角线是此凸四边形的双中线。根据双中线长度的公式,等对角线四边形的面积可以用四边边长以及对角线中点的距离表示:[5]:p.19

在凸四边形的面积公式中设p = q,也可以得到其他面积公式。

与其它四边形的关系

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当且仅当平行四边形是矩形,则它是等对角线的[6]

等对角线四边形和正交四边形对偶关系,当且仅当四边形的伐里農平行四邊形是正交的(菱形),则它是等轴的;当且仅当它的伐里農平行四邊形是等轴的(矩形),则它是正交的[3]。换言之,当且仅当四边形的双中线互相垂直,则它的对角线相等;当且仅当四边形的双中线互相相等,则它的对角线互相垂直。

等腰梯形

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对角线相等的圆外切四边形必定是圆外切等腰梯形

通过全等三角形(SSS),易证当且仅当梯形等腰梯形时,则它的对角线相等。同样,通过全等三角形(SAS)易得圆内接四边形对角线相等时必定是等腰梯形。

圆外切四边形的对角线长p, q与四个顶点出发的切线长e, f, g, h的关系为 [7]:Lemma2

当p=q时,两边平方,相减后可得,暨一对对边长相等,通过全等三角形(SSS)可得其为等腰梯形,暨对角线相等的圆外切四边形必定是圆外切等腰梯形

中方四边形

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在所有四边形中,等轴正交四边形(对角线的长度大于或等于所有边)的直径-面积比最高,所以是最大面积最小直径四边形英语biggest little polygon问题中n = 4的解。正方形是其中一例,但此类四边形有无限个。等轴正交四边形也称作中方四边形(英語:midsquare quadrilateral[4]:p. 137,因为它们是唯一一种伐里農平行四邊形为正方形的四边形。设此类四边形的相邻边长为,则其面积等于[4]:Thm.16

中方平行四边形即是正方形。

参考文献

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  1. ^ Colebrooke, Henry-Thomas, Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara, John Murray: 58, 1817 .
  2. ^ Ball, D.G., A generalisation of π, Mathematical Gazette, 1973, 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052 , Griffiths, David; Culpin, David, Pi-optimal polygons, Mathematical Gazette, 1975, 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699 .
  3. ^ 3.0 3.1 de Villiers, Michael, Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning: 58, 2009, ISBN 9780557102952 .
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Josefsson, Martin, Properties of equidiagonal quadrilaterals, Forum Geometricorum, 2014, 14: 129–144 [2024-09-14], (原始内容存档于2024-06-05) .
  5. ^ 5.0 5.1 Josefsson, Martin, Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles (PDF), Forum Geometricorum, 2013, 13: 17–21 [2024-09-14], (原始内容 (PDF)存档于2024-03-24) .
  6. ^ Gerdes, Paulus, On culture, geometrical thinking and mathematics education, Educational Studies in Mathematics, 1988, 19 (2): 137–162, JSTOR 3482571, doi:10.1007/bf00751229 .
  7. ^ Hajja, Mowaffaq, A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic (PDF), Forum Geometricorum, 2008, 8: 103–106 [2024-09-18], (原始内容 (PDF)存档于2019-11-26) .