心臟線

心臟線

一個圓滾動產生的心臟線

使用圓和切線生成一個心臟線

心臟線，又稱心形綫，是有一個尖點的外擺線。也就是說，一個圓沿著另一個半徑相同的圓滾動時，圓上一點的軌跡就是心臟線。

曼德博集合中間的圖形是心臟線。

方程

在笛卡兒坐標系中，心臟線的參數方程為：

$x(t)=2r\cos t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\left(1+\cos 2t\right)\right),$

$y(t)=2r\sin t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right)$

其中r是圓的半徑。曲線的尖點位於（r，0）。

在極坐標系中的方程為：

$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\$

圖像

這是四個朝著不同方向的心臟線。

面積

方程為

$\rho (\theta )=a(1-\cos \theta )$

的心臟線的面積為：

$A={3 \over 2}\pi a^{2}$，證明如下：

首先，因為函數圖像關於$x$軸對稱，所以只要求出當$y\geq 0$時的面積再乘以2即可。

然後，易知當$\theta =0,\pi$的時候$\rho =0$，因此

$A=2\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}(a(1-\cos \theta ))^{2}d\theta =a^{2}(\theta -2\sin \theta +{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin 2\theta }{4}})\mid _{0}^{\pi }={\frac {3a^{2}\pi }{2}}$

參見

• 外擺線

參考文獻

• cut-the-knot （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Xah Lee, Cardioid （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） (1998)
• Jan Wassenaar, Cardioid （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, (2005)