心脏线

心脏线

一个圆滚动产生的心脏线

使用圆和切线生成一个心脏线

心脏线，又称心形线，是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线。

曼德博集合中间的图形是心脏线。

方程

在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：

$x(t)=2r\cos t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\left(1+\cos 2t\right)\right),$

$y(t)=2r\sin t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right)$

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。

在极坐标系中的方程为：

$\rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\$

图像

这是四个朝着不同方向的心脏线。

面积

方程为

$\rho (\theta )=a(1-\cos \theta )$

的心脏线的面积为：

$A={3 \over 2}\pi a^{2}$，证明如下：

首先，因为函数图像关于$x$轴对称，所以只要求出当$y\geq 0$时的面积再乘以2即可。

然后，易知当$\theta =0,\pi$的时候$\rho =0$，因此

$A=2\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}(a(1-\cos \theta ))^{2}d\theta =a^{2}(\theta -2\sin \theta +{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin 2\theta }{4}})\mid _{0}^{\pi }={\frac {3a^{2}\pi }{2}}$

参见

• 外摆线

参考文献

• cut-the-knot （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Xah Lee, Cardioid （页面存档备份，存于互联网档案馆） (1998)
• Jan Wassenaar, Cardioid （页面存档备份，存于互联网档案馆）, (2005)