模块:Complex Number/Functions/doc

本模块定义了一些可供Module:Complex_Number系列模块使用的扩展函数。

使用条件

要能使用此函数，必须先输入一个数字类别数据结构以及其专用的math程序库

• 数字类别数据结构必须包含下列成员函数：
  • clean() : 削去过小的小数，如5.0000000000000015会被削成5。
  • metatable必须实现下列函数

    加法、减法、乘法、除法、取余数、相等判断、转字符串、相反数（加法逆元）

• 专用的math程序库必须包含下列成员：
  • 基本函数：

    abs（绝对值）、 sgn（符号函数）、 arg（辐角）、 conjugate（共轭）、 sqrt（平方根）、 dot（内积）

  • 高斯符号：

    floor（无条件舍去）、 ceil（无条件进位）、 round（四舍五入）

  • 除法相关：

    mod、 div（除法）、 inverse（乘法逆元）

  • 指对数相关：

    exp（自然指数）、 log（自然对数）、 pow（幂）

  • 特殊成员

    re（返回实部）、nonRealPart（返回不含实部的复数）、 tovector（返回复数的数组形式）

  • 三角函数

    sin、 cos、 tan、 cot、 cis、 asin、 acos、 atan、 acot

  • 双曲函数

    sinh、 cosh、 tanh、 coth、 asinh、 acosh、 atanh、 acoth

  • 常量

    e、 pi（圆周率）、 nan（不是数字）

使用方法

1. 初始化任何符合此扩展函数库使用条件的数学库
   • local 自定义函数库名称 = require("Module:Complex Number").函数库名称.init()

     以Module:Complex Number的cmath为例：

     local cmath = require("Module:Complex Number").cmath.init()

2. 初始化本扩展函数库
   • 自定义函数库名称 = require("Module:Complex Number/Functions")._init(自定义函数库名称, 函数库对应的数字构造函数)

     以上述之Module:Complex Number的cmath为例：

     cmath = require("Module:Complex Number/Functions")._init(cmath, cmath.constructor)

3. 使用扩展函数库中的函数

   例如：

   print(cmath.factorial(5), cmath.sec(cmath.pi/4))

   输出：120 　 　1.4142135623731

模块中的函数

三角函数扩展

扩展了原本未定义的三角函数

如sec（正割）、 csc（余割）、 sech（双曲正割）、 csch（双曲余割）、 asec（反正割）、 acsc（反余割）、asech（反双曲正割）、 acsch（反双曲余割）、 gd（古德曼函数） 、 cogd（余古德曼函数）、 arcgd（反古德曼函数）

功能

输入一个复数x，回传其指定三角函数的值

range(x,min,max)

功能

只取函数的某一段

若x位于min,max区间内，则回传x，否则回传NaN

统计函数

定义了一些统计函数

如minimum（最小值）、 maximum（最大值）、 average（平均值）、 geoaverage（几何平均值）、 var（方差）、 σ（标准差）

功能

输入一系列数字，回传其指定的统计值

diff(function, x₀)

功能

输入一个函数，计算该函数在x=x₀的导数

实现方式

数值微分#高阶方法

integral(a, b, function, step)

功能

输入一个函数，计算从a到b的定积分，并以step为求黎曼和的间距

实现方式

en:Boole's_rule

limit(x₀, way, function)

功能

输入一个函数，计算从way方向向x₀逼近的极限。

其中，way=1为右极限、way=-1为左极限、way=0为不分方向的极限，若左极不等于右极回传NaN

条件式

常量条件输入

if(条件, 为真时, 为假时)、ifelse(条件1, 条件1为真, 条件2, 条件2为真, ... ,皆为假)

代表条件在传入函数时已经完成计算

函数条件输入

iff(条件函数, 为真时, 为假时)、ifelsef(条件函数1, 条件1为真, 条件函数2, 条件2为真, ... ,皆为假)

代表条件在传入函数时尚未计算，判断的当下才计算。所传入的函数需要是无参数函数，若有参数也只会被忽略。用于定义递归下的条件

factorial(x)

功能

输入一个复数x，回传其阶乘值

即factorial(x)$=n!$

实现方式

参考#gamma(x)

binomial(n,k)

功能

计算二项式系数

也可以理解为从n个元素中取出k个元素的方法数

gcd(a,b,c,...)

功能

计算a,b,c,....等数字的最大公约数，支持复数。

实现方式

辗转相除法

lcm(a,b,c,...)

功能

计算a,b,c,....等数字的最小公倍数，支持复数。

实现方式

最小公倍数#计算方法

gamma(x)

功能

输入一个复数x，回传其Γ函数值

伽玛函数的实现方式

精确度

有效数字14位

运算效率

平均一次运算耗时约0.3582毫秒（3.6×10⁻⁴ s、一秒可计算2,700+次），测试于2018年11月19日 (一) 06:39 (UTC)、2022年4月12日 (二) 17:54 (UTC)。

实现方式

• 共分成4个部分
  • 中间蓝色部分是利用从零展开倒数伽玛函数的泰勒级数定义

    展开至前30项

    ${\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots$

    $a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}$

  • 两侧橘红色部分是利用中间蓝色代Γ函数的递推关系式定义，并用For循环实现

    $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$

    $\Gamma (x-1)={\frac {\Gamma (x)}{x-1}}$

  • 上下的绿色部分则是使用Robert H. Windschitl (2002) 所提出的公式近似

    $\Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}$

  • 最后黄色部分则是使用带有斯特灵级数的斯特灵公式近似

    $n!={\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).$

    展开至前16项 （来源：（OEIS数列A001163）、（OEIS数列A001164））

  • 而背景透明标记 （灰白相间） 部分则为超出浮点数可存储范围，会溢出或出现inf或nan
  • 最左边土黄色则是可能出现低于设计的精确度小数12位而回传0