正切

正切

性質
奇偶性	奇
定義域	$\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到達域	(-∞,∞)
周期	$\pi$ （180°）
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	$x=\left(2k+1\right){\tfrac {\pi }{2}}$ （ $x =180° k +90°$ ）
根	$k\pi$ （ $180° k$ ）
不動點	當x軸為弧度時： 0 ±4.4934094579091... （±257.453397562356...°） ±7.7252518369378... （±442.6243259322...°） ±10.9041216594289... （±624.7601503824636...°） ... 當x軸為角度時： 0 ±89.35883916555255...° ±269.78762733604602...° ±449.8726402096397...° ...
k是一個整數。

正切（Tangent， $\tan$ ，东欧国家将其写作tg）是三角函数的一种。它的值域是整个实数集，定义域落在 $\left\{x|x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},k\in \mathbb {Z} \right\}$ （ $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ ）。它是周期函数，其最小正周期为 $\pi$ （180°）。正切函数是奇函数。

符号说明

正切的符号为 $\tan$ ，源于英文tangent。该符号最早由数学家湯瑪斯·芬克（英语：Thomas Fincke）（Thomas Fincke）所采用。

定义

直角三角形中

直角三角形， $\angle C$ 為直角， $\angle A$ 的角度為 $\theta$ ，對於 $\angle A$ 而言， $a$ 為對邊、 $b$ 為鄰邊、 $c$ 為斜邊

在直角三角形中，一个锐角的正切定义为它的對邊与鄰邊的比值，也就是：

\tan \theta ={\frac {\text{a}}{\text{b}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\,\!

可以發現其定義和餘切函數互為倒數。

直角坐标系中

设 $\alpha$ 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的终边上一点， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是P到原点O的距离，则 $\alpha$ 的正切定义为：

\tan \alpha ={\frac {y}{x}}

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角 $\theta$ ，并与单位圆相交，並令这个交点為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於 ${\overline {Oy}}$ ，並與单位圆相切，令直線與x軸的交點，則此點與y點之距離為正切比值。

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 $2\pi$ （360°）或小于 $-2\pi$ （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函數变成了周期为 $2\pi$ （360°）的周期函数；但由於正切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是 $\pi$ （180°），所以正切是周期为π（180°）的周期函数：

\tan \theta =\tan \left(\theta +\pi k\right)=\tan \left(\theta +180^{\circ }k\right)

对于任何角度 $\theta$ 和任何整数 $k$ 。

級數定義

正切函數也可以使用泰勒展開式定義

\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}

其中 $B_{2n}$ 為伯努利數。

另外，我们也有

\tan x=8x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-2k)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}.

微分方程定义

$\tan$ 的微分是 $\sec$ 的平方

{\frac {d}{dx}}\tan x\ =\sec ^{2}x

另外

\int \tan x\,dx=-\ln(\cos x)

所以可以用

\tan x=(-\ln(\cos x))'\,

來定義。

指数定义

$\tan \theta ={\frac {e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}{{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}}\,$

恒等式

用其它三角函数来表示正切

函數	sin	cos	tan	cot	sec	csc
$\tan \theta$	${\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta \$	${\frac {1}{\cot \theta }}$	${\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$

角的和差

$\tan(\theta \pm \psi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}$

正切的有限多项和

设 $x_{i}=\tan(\theta _{i})$ ，对于 $i=1,\ldots ,n$ 。设 $e_{k}$ 是变量 $x_{i}$ ， $i=1,\ldots ,n$ ， $k=0,\ldots ,n$ 的 $k$ 次基本对称多项式。则

\tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},

项的数目依赖于 $n$ 。例如，

{\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

半角公式

${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}}\end{aligned}}$

二倍角

${\begin{aligned}\tan 2\theta &={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\\&={\frac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }}\\\end{aligned}}$