迪恩数

迪恩数（D，De或Dn）是流体力学中的无因次量，会用在弯管及弯曲渠道的流体研究中，得名自1920年代研究弯曲流场的英国科学家威廉·雷金纳德·迪恩。

物理背景

弯管内产生一对迪恩涡（示意图）。左侧为内弯，右侧为外弯。

黏性流体沿直管道流动时，管中央的流速较快，近管壁的流速较慢，为泊肃叶流。转弯时，受离心力影响，中央较快的流体被推到外侧（附图的右侧），管壁附近的流体相应被挤压返回内侧（附图的左侧），产生两个反向的涡旋。此种次要的效应与原先向前的流动互相叠加，所以流体粒子实际的轨迹是螺旋线。此种涡流称为迪恩涡（Dean vortices）。

定义

迪恩数的定义如下：

${\mathit {De}}={\frac {\rho V\!d}{\mu }}\left({\frac {d/2}{R}}\right)^{1/2}$

• $\rho$ 为流体密度
• $\mu$ 为流体的粘度
• $V$ 是轴向的速度值
• $d$ 为弯管直径（若截面不是圆形，可以用等效直径，请参考雷诺数）
• $R$ 是弯管的曲率半径

迪恩数和雷诺数（基于在直径d的管内流速为V的流体）及曲率平方根的乘积成正比。

迪恩方程

迪恩数出现在迪恩方程中，这是针对牛顿流体在环面管中的轴向均匀流，曲率效应较小 ($a/r\ll 1$) 时针对纳维-斯托克斯方程的近似。

此处使用正交座标系 $(x,y,z)$ ，其单位向量和弯管的中线对齐，${\hat {\boldsymbol {z}}}$延著中线方向，${\hat {\boldsymbol {x}}}$和中线平面垂直，而${\hat {\boldsymbol {y}}}$为副法线．若轴向流是因为压力梯度$G$而产生，其轴向速度$u_{z}$ 除以 $U=Ga^{2}/\mu$，跨流线的速度$u_{x},u_{y}$ 除以 $(a/R)^{1/2}U$，跨流线的压力除以$\rho aU^{2}/L$，而长度除以曲率半径。

利用上述的无因次变数及座标，迪恩方程式可以用下式表示

$D\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}+u_{z}^{2}\right)=-D{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}$

$D{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-D{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}$

$D{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}$

${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0$

其中

${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}$为实质导数。

迪恩数D是上述系统中唯一的参数，也包括了曲率效应的第一阶效应在内，若要考虑更高阶的效应，需要引入其他的参数。

若曲率的影响不大时（D比较小），迪恩方程可以用迪恩数的级数展开来表示. 此处在 $D_{c}\approx 956$（Dennis & Ng 1982）时都还是稳定的。若D值较大，有许多不同的解，其中有许多是不稳定的。

参考资料

• Dean, W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe. Phil. Mag. 1927, 20: 208–223. 
• Dean, W. R. The streamline motion of fluid in a curved pipe. Phil. Mag. (7). 1928, 5: 673–695.