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迪恩数

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迪恩数DDeDn)是流体力学中的无因次量,会用在弯管及弯曲渠道的流体研究中,得名自1920年代研究弯曲流场的英国科学家威廉·雷金纳德·迪恩英语W. R. Dean

物理背景

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弯管内产生一对迪恩涡(示意图)。左侧为内弯,右侧为外弯。

黏性流体沿直管道流动时,管中央的流速较快,近管壁的流速较慢,为泊肃叶流。转弯时,受离心力影响,中央较快的流体被推到外侧(附图的右侧),管壁附近的流体相应被挤压返回内侧(附图的左侧),产生两个反向的涡旋。此种次要的效应与原先向前的流动互相叠加,所以流体粒子实际的轨迹是螺旋线[1]:469–470此种涡流称为迪恩涡Dean vortices)。

定义

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迪恩数的定义如下:

  • 为流体密度
  • 为流体的粘度
  • 是轴向的速度值
  • 为弯管直径(若截面不是圆形,可以用等效直径,请参考雷诺数
  • 是弯管的曲率半径

迪恩数和雷诺数(基于在直径d的管内流速为V的流体)及曲率平方根的乘积成正比[2]

迪恩方程

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迪恩数出现在迪恩方程中,这是针对牛顿流体环面管中的轴向均匀流,曲率效应较小 () 时针对纳维-斯托克斯方程的近似。

此处使用正交座标系 ,其单位向量和弯管的中线对齐,延著中线方向,和中线平面垂直,而为副法线.若轴向流是因为压力梯度而产生,其轴向速度 除以 ,跨流线的速度 除以 ,跨流线的压力除以,而长度除以曲率半径。

利用上述的无因次变数及座标,迪恩方程式可以用下式表示[3]

其中

实质导数

迪恩数D是上述系统中唯一的参数,也包括了曲率效应的第一阶效应在内,若要考虑更高阶的效应,需要引入其他的参数。

若曲率的影响不大时(D比较小),迪恩方程可以用迪恩数的级数展开来表示. 此处在 (Dennis & Ng 1982)时都还是稳定的[4]。若D值较大,有许多不同的解,其中有许多是不稳定的。

参考资料

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  1. ^ Berger, S. A.; Talbot, L.; Yao, L. S. Flow in Curved Pipes. Ann. Rev. Fluid Mech. 1983, 15: 461–512. Bibcode:1983AnRFM..15..461B. doi:10.1146/annurev.fl.15.010183.002333. 
  2. ^ Chapter5 Geometry and Flow p.3 互联网档案馆存档,存档日期2016-03-04.
  3. ^ Mestel, J. Flow in curved pipes: The Dean equations页面存档备份,存于互联网档案馆), Lecture Handout for Course M4A33, Imperial College.
  4. ^ Dennis, C. R.; Ng, M. Dual solutions for steady laminar-flow through a curved tube. Q. J. Mech. Appl. Math. 1982, 35: 305. doi:10.1093/qjmam/35.3.305.