狄利克雷L函数

在数学中，狄利克雷L函数是狄利克雷级数的特例，它是形如下式的复变数函数

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

在此 $\chi$ 是一个狄利克雷特征，$s\in \mathbb {C}$ 的实部大于一。此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。

约翰·彼得·狄利克雷证明对所有 $\chi$ 具有 $L(1,\chi )\neq 0$，并借此证明狄利克雷定理。若 $\chi$ 是主特征，则 $L(s,\chi )$ 在 $s=1$ 有单极点。

零点

• 若 $\chi$ 是原特征，$\chi (-1)=1$，则 $L(s,\chi )$ 在 $\mathrm {Re} (s)<0$ 的零点是负偶数。
• 若 $\chi$ 是原特征，$\chi (-1)=-1$，则 $L(s,\chi )$ 在 $\mathrm {Re} (s)<0$ 的零点是负奇数。

不论可能的西格尔零点，狄利克雷L函数有与黎曼ζ函数相似的无零点区域，包括 $\{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}$。一如黎曼ζ函数，狄利克雷L函数也有相应的广义黎曼猜想。

函数方程

假设 $\chi$ 是模 $k$ 的原特征。定义

$\Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),$

此处 $\Gamma$ 表Γ函数，而符号 $a$ 由下式给出

$a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}$

则有函数方程

$\Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).$

此处的 $\tau (\chi )$ 表高斯和

$\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).$

我们亦有 $|\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}$。

文献

• H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer. 2000. ISBN 0-387-95097-4.