狄利克雷L函數

在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

在此 $\chi$ 是一個狄利克雷特徵，$s\in \mathbb {C}$ 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 $\chi$ 具有 $L(1,\chi )\neq 0$，並藉此證明狄利克雷定理。若 $\chi$ 是主特徵，則 $L(s,\chi )$ 在 $s=1$ 有單極點。

零點

• 若 $\chi$ 是原特徵，$\chi (-1)=1$，則 $L(s,\chi )$ 在 $\mathrm {Re} (s)<0$ 的零點是負偶數。
• 若 $\chi$ 是原特徵，$\chi (-1)=-1$，則 $L(s,\chi )$ 在 $\mathrm {Re} (s)<0$ 的零點是負奇數。

不論可能的西格爾零點，狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域，包括 $\{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}$。一如黎曼ζ函數，狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想。

函數方程

假設 $\chi$ 是模 $k$ 的原特徵。定義

$\Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),$

此處 $\Gamma$ 表Γ函數，而符號 $a$ 由下式給出

$a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}$

則有函數方程

$\Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).$

此處的 $\tau (\chi )$ 表高斯和

$\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).$

我們亦有 $|\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}$。

文獻

• H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer. 2000. ISBN 0-387-95097-4.