欣策尔假设H

数学上，欣策尔假设H（Schinzel's hypothesis H）是数论中最有名的开放问题之一。这问题是孪生质数猜想等高度开放问题的大幅推广。这猜想以波兰男性数学家安杰伊·欣策尔为名。

陈述

这假设声称，对于任意定义在整数上、由首项系数为正的整系数不可约多项式$\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}\}$而言，以下两条有且仅有一条成立：

1. 有无限多的正整数$n$使得$f_{1}(n),f_{2}(n),\ldots ,f_{k}(n)$皆为质数；或
2. 有一个取决于这整数多项式的正整数$m>1$（又称“固定除数”），总能除尽这些多项式的乘积$f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)$（或等价地说，存在一个质数$p$，使得对于任意正整数$n$而言，总有一个$1\leq i\leq k$，使得$p$能除尽$f_{i}(n)$）

像$f_{1}(x)=x+4,f_{2}(x)=x+7$这样的集合能满足第二个条件，而这是因为$(x+4)(x+7)$总能被2除尽之故。而很容易就可知道在这种状况下，第一条不会成立；而欣策尔假设H基本就是说，上述第一条的断言，仅在第二条成立时会不成立。

目前没有任何已知的有效技巧可以确定一组多项式是否符合上述的第一个条件；反之，确定一组多项式符合第二个条件的方法相当直接：设$Q(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)$并计算$Q(n)$的连续$\deg(Q)+1$个值的最大公因数。之后可借由对有限差的外推，知道说这这因数也可除尽$Q(n)$的所有其他值。

欣策尔假设H建立于布尼亚科夫斯基猜想这个对单一多项式的猜想，以及哈代-李特尔伍德猜想和迪克森猜想等对多个线性多项式的猜想的基础上。而这猜想又受到Bateman–Horn猜想所推广。

例子

取$k=1$时的简单例子如下：

$x^{2}+1$

这多项式没有固定的质因数，因此我们可以期待说有无限多个质数有着如下的形式：

$n^{2}+1$

然而这点并未得证。这是兰道问题的其中一题，且可追溯至欧拉在1752年给哥德巴赫的一封信中的观察，其中提到说在$n$到1500的范围内，形如$n^{2}+1$的数，经常是质数。

作为另一个例子，可取$k=2$，并设$f_{1}(x)=x$及$f_{2}(x)=x+2$。而这猜想指出，这例子会导出有无限多对的孪生质数的结果，而这是一个基本但知名的开放问题。

变体

欣策尔和谢尔宾斯基证明说，上述内容等价如次的叙述：若条件二不成立，那对于任意首项系数为正的整系数不可约多项式$f_{i}(x)$的集合而言，存在至少一个正整数$n$，使得所有的$f_{i}(n)$都是质数。若首项系数为负，那可期待会出现负质数，因此这是一个无害的限制。

或许并无理由将问题限制于整系数多项式，而非更一般的整值多项式上，而这是因为像是如${\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+1$这样的多项式，在$x$为整数时，其值也必然是整数，即使其系数并非整数亦然。

先前的结果

单个线性多项式的特殊情况即是等差数列上的狄利克雷定理，而这定理是数论上最重要的定理之一；事实上，狄利克雷定理是欣策尔假设H唯一已知的例子。目前尚不知这猜想是否对于任意次数大于$1$多项式，或对于多于一个多项式组成的系统也成立。

目前已有许多学者尝试以殆质数来解决欣策尔假设H，其中最显著的结果是陈氏定理。陈氏定理表示说有无限多个质数$n$，使得$n+2$是质数或半质数；而伊万尼茨则证明说有无限多个正整数$n$，使得$n^{2}+1$是质数或半质数。而阿列克谢·思科罗博嘉多夫和梭佛斯（Sofos）证明了说几乎所有次数固定的多项式都满足欣策尔假设H。

设$P(x)$为一个公因数为$d$的整值多项式，并设$Q(x)={\frac {P(x)}{d}}$那么$Q(x)$就是一个原初整值多项式。

隆纳·约瑟夫·米奇（Ronald Joseph Miech）证明了说$\Omega (Q(n))\leq k$对无限多的正整数$n$成立，因此$\Omega (P(n))\leq m$对无限多的正整数$n$成立，其中$k$和$m=k+\Omega (d)$不取决于$n$，且对于$Q(x)$的次数$D$有$k<D\cdot (\ln(D)+2.8)$。这定理又称为米奇定理（Miech's theorem），而米奇定理的证明使用了布朗筛法。

若一个假定的几率密度筛确实存在，那就可利用米奇定理，借由数学归纳法证明欣策尔假设H在任何情况下都成立。

前景和应用

这假设可能超出解析数论目前的方法所能及的范围，但在算术几何等的研究中，这假设常用以给出条件证明。这假设和算术几何之间的关联可见于Jean-Louis Colliot-Thélène和Jean-Jacques Sansuc等人的研究，对此关联的说明可见彼得·斯维讷通-戴尔的注解。有鉴于这假设的的强度，因此或许可从此假设得到的结果会超乎预期。

包含哥德巴赫猜想的推广

这假说并不能导出哥德巴赫猜想，但一个密切相关的推广（假设H_N）可导出哥德巴赫猜想。这推广需要假定一个额外的多项式$F(x)$（在哥德巴赫猜想的情境下这额外的多项式是$x$），其中

$N-F(n)$

必须是质数；此外，这假说在哈巴施潭与理希的《筛法》 一书中有提及。这假设在此的形式涉及“在$N$足够大”的情境及

$f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)(N-F(n))$

没有固定且大于一的公因数的这条件，因此在此情境下，证明此假设就是证明存在一个$n$，使得$N-F(n)$为一个正质数，并使得所有的$f_{i}(n)$都是质数。

对此假设，已知的结果并不多，但目前已有详细的理论（见Bateman–Horn猜想一文）。

局部分析

没有固定公因数这条件是局部的，也就是只取决于质数的；换句话说，这猜想就是有限多个没有局部阻碍因而得以有无限多个质数值的不可约整值多项式的集合可取无限多个值。

不成立的类比

将原假设中的整数改成有限域上的单值多项式环的类比是错的，像例如说，Swan在1962年（因为和欣策尔假设H无关的理由）注解到说以下在$F_{2}[u]$这个环上的多项式

$x^{8}+u^{3}\,$

是不可约的，且没有固定的质多项式公因数（因其在$x=0$和$x=1$的取值是两个互质的多项式之故），但这多项式在$F_{2}[u]$上的$x$所取的所有值都是合成多项式，将$F_{2}[u]$改成其他有限域，也都能找到类似的例子；因此在假定欣策尔假设H正确的状况下，在任意有限域$F$的多项式环$F[u]$上定义欣策尔假设H类比的工作上的阻碍不仅是局部的，而是完全且没有经典类比的。

参考资料

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl B. Prime Numbers: A Computational Perspective Second. New York: Springer-Verlag. 2005. ISBN 0-387-25282-7. MR 2156291. Zbl 1088.11001. doi:10.1007/0-387-28979-8. 
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory Third. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Pollack, Paul. An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field. De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (编). Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes 46. Providence, RI: American Mathematical Society. 2008: 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 
• Swan, R. G. Factorization of Polynomials over Finite Fields. Pacific Journal of Mathematics. 1962, 12 (3): 1099–1106. doi:10.2140/pjm.1962.12.1099 .