计算几何

计算几何是一门兴起于二十世纪七十年代末的电脑科学的一个分支，主要研究解决几何问题的算法。

自从1946年世界上第一台电脑问世以来，电脑应用的一个重要里程碑是1962年美国麻省理工学院发明了世界上第一台图形显示器。自此之后，电脑可以透过图形显示器直接输入、输出图形，并且可以在显示屏上透过游标的移动，直接修改图形。而在这之前，工程师是透过一厚叠纸上密密麻麻的数字来间接表达工程图形的。

1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。这3个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂，要求特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。

与此同时，也就发展出了一门新兴学科——计算几何，它在美国常常被称为CAGD（Computer Aided Geometric Design，电脑辅助几何设计），专门研究“几何图形资讯（曲面和三维实体）的电脑表示、分析、修改和综合”。1972年在美国举行CAGD第一次国际会议，标志计算几何学科的形成。

计算几何算法

• 判断点是否在直线上
• 判断两线段是否相交
• 判断线段和直线是否相交
• 判断点是否在矩形内
• 判断线段、折线、多边形是否在矩形内
• 判断矩形是否在矩形内
• 判断圆是否在矩形内
• 判断矩形是否在圆内
• 判断点是否在多边形内
• 判断线段是否在多边形内
• 判断点是否在圆内
• 判断圆是否在圆内
• 计算相交多边形的重叠区域
• 计算点到线段的最近点
• 计算点到圆的最近点及点坐标
• 凸包求法等

算法介绍

矢量概念

如果把一条线段的端点作出次序之分，则可将这种线段看作有向线段。如果有向线段$P_{1}P_{2}$的起点$P_{1}$在坐标原点，则把它称为矢量${\boldsymbol {P}}_{2}$。这样，点$P(x,y)$ 可以看作起点为原点$O(0,0)$的二维矢量。相应地，三维空间坐标系下的坐标也可以作类似理解为三维矢量。

设二维矢量${\boldsymbol {P}}=(x_{1},y_{1}),{\boldsymbol {Q}}=(x_{2},y_{2})$，则矢量的加法定义为${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$，矢量的减法定义为${\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$。矢量的加减法有以下性质：${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {Q}}+{\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {P}})$。因为点可视为坐标原点至该点的矢量，所以点的加减法就是矢量的加减法。

矢量的叉积

矢量的叉积，也称矢量的叉乘。矢量${\boldsymbol {P}}$与${\boldsymbol {Q}}$的叉乘记作${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}$。定义${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$，其结果是一个标量。几何意义为由原点、点$P$、点$Q$、点$P+Q$四点共同组成的平行四边形的面积（带正负号）。计算矢量叉积是直线和线段相关算法的核心。矢量的叉积有以下性质：${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}\times {\boldsymbol {P}}),{\boldsymbol {P}}\times (-{\boldsymbol {Q}})=-({\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}})$。

叉乘的一个非常重要的性质是，可以通过它的正负号判断两矢量之间的顺逆时针关系：

• 若${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}>0$，则${\boldsymbol {P}}$在${\boldsymbol {Q}}$的顺时针方向(左旋)；
• 若${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}<0$，则${\boldsymbol {P}}$在${\boldsymbol {Q}}$的逆时针方向(右旋）；
• 若${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=0$，则${\boldsymbol {P}}$和${\boldsymbol {Q}}$共线，可能同向也可能反向。

算法举例

判断折线段的拐向

折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。 对于有公共端点的线段$AP$和$PB$，通过计算$\nabla =(B-P)\times (P-A)$的符号，就可以确定折线的拐向：

• 若$\nabla >0$，则$AP$在$P$点拐向右侧得到$PB$；
• 若$\nabla <0$，则$AP$在$P$点拐向左侧得到$PB$；
• 若$\nabla =0$，则$A$、$P$、$B$三点共线。

外部链接

• 主要的学术会议网页（页面存档备份，存于互联网档案馆）Symposium of Computation Geometry (SoCG)
• 刘鼎元. 苏步青先生对计算几何和CAD事业的贡献. （原始内容存档于2007-07-07）.