物理学中,物理空间代数 (APS)是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数
作为(3+1)维时空的模型,通过副向量(3维向量加1维标量)表示时空中的一个点。
克利福德代数
在旋量表示
上有由泡利矩阵生成的忠实表示;此外,
同构于克利福德代数
的偶子代数
。
APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。
注意APS与时空代数(STA)不同,后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数
。
狭义相对论[编辑]
时空位置副向量[编辑]
APS中,时空位置可表为副向量
![{\displaystyle x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb429cf8269d8f877a8ec15a44d7efba81354d48)
其中时间由标绿部分
给出,
是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是
,称作自然单位制。在泡利矩阵表述中,单位基向量被泡利矩阵代替,标量部分被单位矩阵代替,这意味着时空位置的泡利矩阵表述为
![{\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d11f4cc444ec871b2363a883658bf3e786233c)
洛伦兹变换与转子[编辑]
保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换,可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现:
![{\displaystyle L=e^{{\frac {1}{2}}W}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1abd694ac00256ec9cfed8e4c1ab68631e7ad29)
在矩阵表示中,洛伦兹转子被看作是
群(复数上度为2的特殊线性群)的一个例子,其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件,转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积:
![{\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54bd7e5a7f438d264376969fd2c8f9f4834a8a5)
此洛伦兹转子总可以分解为两个因子,是厄米的
与幺正的
,使得
![{\displaystyle L=BR.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2bfa29c1038b2682a9ee16ed3624709d3c7b66)
酉元R称作转子,因为其编码了旋转,厄米元B则编码了递升。
四维速度副向量[编辑]
四维速度也称原速,定义为时空位置副向量对原时τ的导数:
![{\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967f348960bee074906ea34dd868523aeb51c88d)
定义普通速度为
![{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831b4cc110d950038fcc6d9add2966ca0f01ce01)
回想伽马因子的定义:
![{\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c650cf640f4bbb71434676d9fe05b18dd3b224a)
于是原速的更紧凑定义是:
![{\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb23c79189f27ed63dde2e61509938fa2942abf)
原速是正幺模副向量,意味着下列克利福德共轭条件:
![{\displaystyle u{\bar {u}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec5b4060fadf0386ccaa5bbc099bb68b0f2614a2)
在洛伦兹转子L作用下,原速变换为
![{\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af4985ea16c7baef69988e3865dc68a97eb1bdc)
四维动量副向量[编辑]
APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到:
![{\displaystyle p=mu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866a2b3fec9be1001ed4eeffb89d964b40a220f8)
质壳条件转化为
![{\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672eef72db5527857bf1087801c1b4857c3a6206)
经典电动力学[编辑]
电磁场、电势与电流[编辑]
电磁场可表为双副向量F:
![{\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0859a16c2eb420034fa78448cc3f4de58f0729)
其中厄米部分代表
电场E,反厄米部分代表
磁场B。在标准泡利矩阵表示中,电磁场为
![{\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe67298f17a0cf03039e21f762417268104ea52)
场F的源是电磁四维电流
![{\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b54f0a26e8296f3d8d82fce0cc0b04b9446250)
其中标量部分等于
电荷密度ρ,向量部分等于
电流密度j。引入
电磁势副向量:
![{\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ecdcb766e62e248da3a6b3aaf578bb6bea255d)
当中标量部分等于
电势ϕ,向量部分等于
磁势A。则电磁场为
![{\displaystyle F=\partial {\bar {A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830a7afd05d3b6696b53d244896417cb4498e016)
此场也可分为电部分
![{\displaystyle E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9f9545aefb34e1014faecfa9dbf865f9f7e9e0)
与磁部分
![{\displaystyle B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723f9dd80d9d8db807aec7601652232227438d39)
当中
![{\displaystyle \partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ddf5fc8be769a1dd202b9a8d0a9882fea5be38)
且
F在下列
规范变换下不变:
![{\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d545c92b6caf6454b61e9625c300de0e6bdad430)
其中
![{\displaystyle \chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656111758322ace96d80a9371771aa6d3de25437)
是
标量场。
电磁场在洛伦兹变换下是协变的,规律是
![{\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4991bc5488dd9ed565f09f4514a7b3f86c69cb18)
麦克斯韦方程组与洛伦兹力[编辑]
麦克斯韦方程组可用单一方程表示:
![{\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305c52c8ff8c5682c2d5bc0e9e7f27f79b9830fd)
其中上横线表示克利福德共轭。
洛伦兹力方程形式为
![{\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee3e8cf047cec23343f788bf5aaa5ffe7a24d51)
电磁拉格朗日量[编辑]
电磁拉格朗日量是
![{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec8770320e7f21c1d365523f46edd0ce8f779ba)
是实标量不变量。
相对论量子力学[编辑]
对质量为m、电荷为e的带电粒子,其狄拉克方程的形式为
![{\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98904e9456dabe67570d49f036f5b526ad4e491)
其中
![{\displaystyle {\vec {e}}_{3}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf24ffe7651c753c5673c176d7138ad428148cb)
是任意酉向量,
A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过
最小耦合包含在势
A中。
经典旋量[编辑]
与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为
![{\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f005d26ff19ebf4d8ff38b519bf064c6a741d4b)
这样,原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来:
![{\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbd76fc2a1fdda40806d62900d136903428aa9a)
积分之,就可得到时空轨迹
![{\displaystyle x(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ed83341d5e9b741ba3607c1256c82fb1f50940)
,同时还能使用
![{\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2980add43fe76bff3c0a7e3545f3bead11faff15)
参考文献[编辑]
教科书[编辑]
- Baylis, W E. Relativity in introductory physics. Canadian Journal of Physics. 2004, 82 (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158
. doi:10.1139/p04-058.
- Baylis, W E; Jones, G. The Pauli algebra approach to special relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008.
- Baylis, W. E. Classical eigenspinors and the Dirac equation. Physical Review A. 1 March 1992, 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293.
- Baylis, W. E.; Yao, Y. Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach. Physical Review A. 1 July 1999, 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.
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