法贝尔-杰克逊关系

法贝尔-杰克逊关系（Faber-Jackson relation）是椭圆星系的光度与其中发光物质的速度弥散的关系，由珊德拉·法贝尔和罗伯特·杰克逊于1976年发现。

法贝尔-杰克逊关系认为：

$L\propto \sigma ^{\gamma }$

其中L是椭圆星系的光度，σ是中心的速度弥散，指数γ接近于4。该关系可以用来测定椭圆星系的距离。

公式推导

在质量为M、半径为R的星系中，重力位能可以如下的算式显示：

$U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

动能则为

$K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}$

依据维里定理（Virial Theorem）（$2K+U=0$），可以得到：

$\sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}$.

如果我们假设质量和光度之间的关系是常数，即：

${\frac {M}{L}}=C$

我们可以观察到

$M\propto L$

消除质量M

$L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}$,

于是我们得到R和弥散速度的关系：

$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$.

我们再导入表面光度，并假设这也是常数：

$B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$,

于是

$L=4\pi R^{2}B$.

因此，

$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$,

最后，我们得到弥散速度和光度之间的关系：

$L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}$,

也就是

$L\propto \sigma ^{4}$.

参见

• 塔利-费舍尔关系