法貝爾-傑克遜關係

法貝爾-傑克遜關係（Faber-Jackson relation）是橢圓星系的光度與其中發光物質的速度彌散的關係，由珊德拉·法貝爾和羅伯特·傑克遜於1976年發現。

法貝爾-傑克遜關係認為：

$L\propto \sigma ^{\gamma }$

其中L是橢圓星系的光度，σ是中心的速度彌散，指數γ接近於4。該關係可以用來測定橢圓星系的距離。

公式推導

在質量為M、半徑為R的星系中，重力位能可以如下的算式顯示：

$U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

動能則為

$K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}$

依據維里定理（Virial Theorem）（$2K+U=0$），可以得到：

$\sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}$.

如果我們假設質量和光度之間的關係是常數，即：

${\frac {M}{L}}=C$

我們可以觀察到

$M\propto L$

消除質量M

$L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}$,

於是我們得到R和彌散速度的關係：

$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$.

我們再導入表面光度，並假設這也是常數：

$B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$,

於是

$L=4\pi R^{2}B$.

因此，

$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$,

最後，我們得到彌散速度和光度之間的關係：

$L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}$,

也就是

$L\propto \sigma ^{4}$.

參見

• 塔利-費舍爾關係