餘弦

餘弦

性質
奇偶性	偶
定義域	(-∞,∞)
到達域	[-1,1]
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
當x=0	1
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	(2 $k\pi$ , 1) $(360° k, 1)$
最小值	( $\left(2k+1\right)\pi$ , -1) $(360° k +180°, -1)$
其他性質
漸近線	N/A
根	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （ $180^{\circ }k-90^{\circ }$ ）
臨界點	$k\pi$ （ $180^{\circ }k$ ）
拐點	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （ $180^{\circ }k-90^{\circ }$ ）
不動點	x軸為弧度時： 0.7390851332152... （42.3464588340929...°） x軸為角度時： 0.999847741531088...° （0.0174506351083467...）
k是一個整數。

餘弦（cosine）是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是 $[-1,1]$ 。它是周期函數，其最小正周期為 $2\pi$ （360°）。在自變量為 $2n\pi$ （或 $360^{\circ }n$ ，其中 $n$ 為整數）時，該函數有極大值1；在自變量為 $(2n+1)\pi$ （ $360^{\circ }n+180^{\circ }$ ）時，該函數有極小值-1。餘弦函數是偶函數，其圖像關於y軸對稱。

符號說明

餘弦的符號為 $\cos$ ，取自拉丁文cosinus。該符號最早由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉所採用。

定義

直角三角形中

直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 $\theta$ ，對於 ∠A 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一個銳角 $\angle A$ 的餘弦定義為它的鄰邊與斜邊的比值，也就是：

\cos \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {c} }}\,\!

可以發現其定義和正割函數互為倒數。

直角坐標系中

設 $\alpha$ 是平面直角坐標系xOy中的一個象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的終邊上一點， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是P到原點O的距離，則 $\alpha$ 的餘弦定義為：

\cos \alpha ={\frac {x}{r}}\,\!

單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角 $\theta$ ，並與單位圓相交。這個交點的y坐標等於 $\sin \theta$ 。

在這個圖形中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊並有長度1，所以有了 $\cos \theta ={\frac {x}{1}}$ 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 $2\pi$ （360°）或小於 $-2\pi$ （-360°）的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，餘弦變成了周期為 $2\pi$ （360°）的周期函數：

\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)=\cos \left(\theta +360^{\circ }k\right)

對於任何角度 $\theta$ 和任何整數 $k$ 。

級數定義

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,\!

微分方程定義

由於餘弦的導數是負的正弦，正弦的導數是餘弦，因此餘弦函數滿足初值問題

y''=-y,\,y(0)=1,\,y'(0)=0

這就是餘弦的微分方程定義。

指數定義

\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,\!

恆等式

用其它三角函數來表示餘弦

函數	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\cos \theta =$	${\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta \$	${\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	${\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$

兩角和差公式

\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y

\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y

二倍角公式

\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta

三倍角公式

\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,

半角公式

\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}.\,

冪簡約公式

\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\,\!

\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\,\!

和差化積公式

\cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)

\cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\theta +\phi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi  \over 2}\right)

萬能公式

\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\,\!

含有餘弦的積分

\int \cos cx\;dx={\frac {1}{c}}\sin cx\,\!

\int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,\!

\int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2}}}+{\frac {x\sin cx}{c}}\,\!

\int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,\!

\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}\,\!

\int {\frac {\cos cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {dx}{\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|

\int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)cos^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!

\int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!

\int {\frac {x\;dx}{1+\cos cx}}={\frac {x}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {cx}{2}}\right|

\int {\frac {x\;dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {x}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {cx}{2}}\right|

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx}}=x-{\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx}}=-x-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!

\int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(}}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}\,\!

特殊值

弳度	$0$	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{2}}$
角度	$0^{\circ }$	$15^{\circ }$	$18^{\circ }$	$30^{\circ }$	$36^{\circ }$	$45^{\circ }$	$54^{\circ }$	$60^{\circ }$	$72^{\circ }$	$75^{\circ }$	$90^{\circ }$
cos	$1$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{4}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{4}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$0$