无穷递降法

无穷递降法，又名无穷递减法（英语：Proof by infinite descent），是数学中证明方程无解的一种方法。

步骤

• 假设方程有解，并设X为最小的解。
• 从X推出一个更小的解Y。
• 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

一些实用的例子

a²+b²=3(s²+t²)无非平方解

证明下列方程无正整数解:

$a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,$

证明:

假设该方程有正整数解。

设$a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}$为最小的解。即

$a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})$

显然，$a_{1}$和$b_{1}$都必须能被3整除。设

$3a_{2}=a_{1}\,$及$3b_{2}=b_{1}.\,$

我们得到

$(3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})$

$3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,$

这是更小的解，与$a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}$的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

${\sqrt {2}}$的无理性

主条目：2的算术平方根

假设${\sqrt {2}}$是有理数，即$p^{2}=2q^{2}$有正整数解。
令$(p,q)$是此方程的最小解
易知$p$是偶数，从得$q$是偶数
⇒$(p/2,q/2)<(p,q)$
和$(p,q)$是此方程的最小解矛盾，故无正整数解
⇒从得${\sqrt {2}}$是无理数

参见

• 韦达跳跃
• 反证法