实树

数学上，实树，也称为R-树，是指有类似于树的性质的度量空间(M,d)，：对M中任何两点x, y，都有唯一的自x至y的弧，而这条弧是测地线。自x至y的弧，是指从区间[a, b]到M中的拓扑嵌入f，使得f(a)=x，f(b)=y。

一个测地度量空间是实树，当且仅当这空间是δ-双曲空间，且δ=0。

完备实树是单射度量空间。（Kirk 1998）

研究实树上的群作用的理论称为Rips machine，是几何群论的一部份。

单纯实树

一个单纯实树是没有某种奇怪的拓扑性质的实树。实树T中的一点x称为寻常的，意思是T−x有正好两个分支。不是寻常的点x称为奇异的。实树称为单纯的，如果奇异点的集合是离散和闭的。

例子

• 任何离散树都可以视为实树，一个简单的构造方法，是定义相邻节点的距离为1。
• 在平面上定义度量为：平面上两点如果在自原点出发的同一条射线上，则这两点距离为两点的欧几里得距离，若否，则距离为自原点至这两点的欧几里得距离的和。上述度量称为巴黎度量。巴黎度量使平面成为实树。更一般而言，刺猬空间都是实树。
• 下述所构造出的是非单纯实树：取闭区间[0,2]，对每个正整数n，把一个长为1/n的区间黏合到原来区间的点1-1/n上。这个实树的奇异点集是离散的，却非闭集，因为在这实树中1是寻常点。如果再黏贴一个区间到点1上，可以使奇异点集成为闭集，但是失了离散性。

参考

• Bestvina, Mladen, ℝ-trees in topology, geometry, and group theory, Handbook of geometric topology, Amsterdam: North-Holland: 55–91, 2002 [2013-12-22], MR 1886668, （原始内容存档于2016-03-03） .
• Chiswell, Ian, Introduction to Λ-trees, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 2001, ISBN 981-02-4386-3, MR 1851337 .
• Kirk, W. A., Hyperconvexity of R-trees (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1998, 156 (1): 67–72 [2013-12-22], MR 1610559, （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04） .
• Shalen, Peter B., Dendrology of groups: an introduction, Gersten, S. M. (编), Essays in group theory, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 8, Springer-Verlag: 265–319, 1987, ISBN 978-0-387-96618-2, MR 0919830 .