數學 上，設
δ
≥
0
{\displaystyle \delta \geq 0}
度量空間
X
{\displaystyle X}
格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間 ，簡稱δ-雙曲空間 ，如果
X
{\displaystyle X}
p
,
x
,
y
,
z
{\displaystyle p,x,y,z}
(
x
,
z
)
p
≥
min
{
(
x
,
y
)
p
,
(
y
,
z
)
p
}
−
δ
{\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta }
其中
(
x
,
y
)
p
{\displaystyle (x,y)_{p}}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
p
{\displaystyle p}
格羅莫夫積 。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間 或雙曲空間 。以上是米哈伊爾·格羅莫夫 的定義，因為不須用到測地線 ，故可以用於一般的度量空間。
一個測地 度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數
δ
≥
0
{\displaystyle \delta \geq 0}
以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯 (Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件[ 1] [ 1]
樹 是0-雙曲空間，因為其上任何三角形都是退化的。有限直徑 的度量空間都是雙曲空間。
設
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
擬等距映射 ，如果
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
若
X
{\displaystyle X}
曲率 的緊緻 黎曼流形 ，那麼其萬有覆疊空間
X
~
{\displaystyle {\widetilde {X}}}
X
{\displaystyle X}
基本群
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
字度量 後可以擬等距映射到
X
~
{\displaystyle {\widetilde {X}}}
施瓦茨－米爾諾引理 ），所以也是雙曲空間。
π
1
(
X
)
{\displaystyle \pi _{1}(X)}
雙曲群 。 設X 是一個格羅莫夫雙曲空間，
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
X 中一個序列。如果
當
i
,
j
→
∞
{\displaystyle i,j\to \infty }
(
x
i
,
x
j
)
p
→
∞
{\displaystyle (x_{i},x_{j})_{p}\to \infty }
稱
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
收斂於無窮 。其中p 是X 中某個定點，
(
x
i
,
x
j
)
p
{\displaystyle (x_{i},x_{j})_{p}}
x
i
,
x
j
{\displaystyle x_{i},x_{j}}
p 的格羅莫夫積 。
對收斂於無窮的序列
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
等價關係 如下：
(
x
i
)
∼
(
y
i
)
{\displaystyle (x_{i})\sim (y_{i})}
當
i
,
j
→
∞
{\displaystyle i,j\to \infty }
(
x
i
,
y
j
)
p
→
∞
{\displaystyle (x_{i},y_{j})_{p}\to \infty }
由這些等價類 構成的集合稱為X 的理想邊界
∂
X
{\displaystyle \partial X}
注意上述條件都不依賴於基點p ，因為格羅莫夫積對p 是1-利普希茨連續 的，即是若將p 換作另一點q ，則任兩點的格羅莫夫積以q 為基點時的值，與以p 為基點時的值，相差不超過p 和q 的距離。
若序列
(
x
i
)
{\displaystyle (x_{i})}
a
∈
∂
X
{\displaystyle a\in \partial X}
x
i
→
a
{\displaystyle x_{i}\to a}
X
∪
∂
X
{\displaystyle X\cup \partial X}
拓撲 ，使得X 在
X
∪
∂
X
{\displaystyle X\cup \partial X}
稠密 的。
設格羅莫夫雙曲空間X 是測地 和常態 的，其理想邊界有等價定義如下：
一個映射
f
:
[
0
,
∞
)
→
X
{\displaystyle f:[0,\infty )\to X}
擬射線 ，如果f 是一個擬等距嵌入 。對X 中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，若二者的豪斯多夫距離 是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X 的理想邊界。
選取X 中任何一點w 為基點。對所有從w 點出發的測地射線 ，定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X 的理想邊界。
^ 1.0 1.1 É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.
