格罗莫夫双曲空间

数学上，设$\delta \geq 0$为一常数，则一个度量空间$X$是格罗莫夫(Gromov)δ-双曲空间，简称δ-双曲空间，如果$X$中任意四点$p,x,y,z$都符合不等式

$(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta$

其中$(x,y)_{p}$是$x,y$对基点$p$的格罗莫夫积。若δ的实际数值不重要时，也可称作格罗莫夫双曲空间或双曲空间。以上是米哈伊尔·格罗莫夫的定义，因为不须用到测地线，故可以用于一般的度量空间。

一个测地度量空间是格罗莫夫双曲的，当且仅当存在常数$\delta \geq 0$，使得每个测地三角形（三边都是测地线段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一边上任何一点，距离另外两边其中一边少于δ。

以上的δ-瘦条件由以利亚·里普斯(Eliyahu Rips)给出，此外又有数种等价条件。格罗莫夫定义中的δ未必等于里普斯条件的δ，但如果一个测地度量空间符合格罗莫夫定义中的δ-双曲性，则它符合里普斯4δ-瘦条件；反之若这空间符合里普斯δ-瘦条件，则符合格罗莫夫定义的8δ-双曲性。

例子

• 树是0-双曲空间，因为其上任何三角形都是退化的。
• 有限直径的度量空间都是双曲空间。
• 设$X,Y$为测地度量空间，$f:X\to Y$是一个拟等距映射，如果$Y$是双曲空间，那么$X$也是双曲空间。
• 若$X$是负曲率的紧致黎曼流形，那么其万有覆叠空间${\widetilde {X}}$是双曲空间，而$X$的基本群$\pi _{1}(X)$赋予字度量后可以拟等距映射到${\widetilde {X}}$（施瓦茨－米尔诺引理），所以也是双曲空间。$\pi _{1}(X)$因此是双曲群。

理想边界

设X是一个格罗莫夫双曲空间，$(x_{i})$为X中一个序列。如果

当$i,j\to \infty$时，$(x_{i},x_{j})_{p}\to \infty$，

称$(x_{i})$收敛于无穷。其中p是X中某个定点，$(x_{i},x_{j})_{p}$是$x_{i},x_{j}$对基点p的格罗莫夫积。

对收敛于无穷的序列$(x_{i})$定义一个等价关系如下：$(x_{i})\sim (y_{i})$，如果

当$i,j\to \infty$时，$(x_{i},y_{j})_{p}\to \infty$。

由这些等价类构成的集合称为X的理想边界$\partial X$。

注意上述条件都不依赖于基点p，因为格罗莫夫积对p是1-利普希茨连续的，即是若将p换作另一点q，则任两点的格罗莫夫积以q为基点时的值，与以p为基点时的值，相差不超过p和q的距离。

若序列$(x_{i})$在等价类$a\in \partial X$内，那么称$x_{i}\to a$。这样就在$X\cup \partial X$上定义了一个拓扑，使得X在$X\cup \partial X$内是稠密的。

等价定义

设格罗莫夫双曲空间X是测地和常态的，其理想边界有等价定义如下：

1. 一个映射$f:[0,\infty )\to X$称为拟射线，如果f是一个拟等距嵌入。对X中的拟射线定义等价关系：两条拟射线等价，若二者的豪斯多夫距离是有限的。那么由拟射线的等价类构成的集合是X的理想边界。
2. 选取X中任何一点w为基点。对所有从w点出发的测地射线，定义如上一项所述的等价关系。则由这些测地射线的等价类构成的集合是X的理想边界。

参见

• 双曲群