德林斐特量子对 （Drinfeld quantum double 、Drinfeld double 或quantum double ）是数学家 德林斐特 于1986年柏克莱国际数学家大会上提出的一种代数结构 ，由有限维霍普夫代数
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
半三角结构 。量子对是量子群 理论中极重要的建构。
在向量空间 的层次上，量子对同构于张量积
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A\otimes A^{*}}
(
A
,
S
)
{\displaystyle (A,S)}
域
k
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle S}
ϕ
(
,
)
:
A
⊗
A
∗
→
k
{\displaystyle \phi (,):A\otimes A^{*}\to k}
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
自然映射
A
→
A
⊗
1
⊂
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A\to A\otimes 1\subset A\otimes A^{*}}
A
∗
→
1
⊗
A
∗
⊂
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A^{*}\to 1\otimes A^{*}\subset A\otimes A^{*}}
∀
a
∈
A
,
b
∈
A
∗
,
(
a
⊗
1
)
⋅
(
1
⊗
b
)
=
a
⊗
b
{\displaystyle \forall a\in A,b\in A^{*},\;(a\otimes 1)\cdot (1\otimes b)=a\otimes b}
承上，
(
1
⊗
b
)
⋅
(
a
⊗
1
)
=
∑
(
a
)
,
(
b
)
ϕ
(
S
−
1
(
a
(
1
)
)
,
b
(
1
)
)
ϕ
(
a
(
3
)
,
b
(
3
)
)
a
(
2
)
⊗
b
(
2
)
{\displaystyle (1\otimes b)\cdot (a\otimes 1)=\sum _{(a),(b)}\phi (S^{-1}(a_{(1)}),b_{(1)})\phi (a_{(3)},b_{(3)})a_{(2)}\otimes b_{(2)}}
任取一组基
a
i
∈
A
{\displaystyle a_{i}\in A}
b
i
∈
A
∗
{\displaystyle b_{i}\in A^{*}}
R
:=
∑
i
(
1
⊗
a
i
)
⋅
(
b
i
⊗
1
)
∈
D
ϕ
(
A
,
A
∗
)
⊗
2
{\displaystyle R:=\sum _{i}(1\otimes a_{i})\cdot (b_{i}\otimes 1)\in {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})^{\otimes 2}}
与基的选取无关，并满足
R
{\displaystyle R}
R
⋅
Δ
(
−
,
−
)
=
Δ
o
p
(
−
,
−
)
⋅
R
{\displaystyle R\cdot \Delta (-,-)=\Delta ^{\mathrm {op} }(-,-)\cdot R}
Δ
⊗
i
d
=
R
13
R
23
{\displaystyle \Delta \otimes \mathrm {id} =R_{13}R_{23}}
i
d
⊗
Δ
=
R
13
R
12
{\displaystyle \mathrm {id} \otimes \Delta =R_{13}R_{12}}
是故
R
{\displaystyle R}
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A\otimes A^{*}}
半三角结构 。通常将此量子对记为
D
ϕ
(
A
,
A
∗
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})}
C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot invariants , Panoramas et Syntheses, no. 5 (1997), Société Mathématique de France, ISBN 2-85629-055-8 .
Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley (1994) : A Guide to Quantum Groups , ISBN 0521558840 
