德林斐特量子對 （Drinfeld quantum double 、Drinfeld double 或quantum double ）是數學家 德林斐特 於1986年柏克萊國際數學家大會上提出的一種代數結構 ，由有限維霍普夫代數
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
半三角結構 。量子對是量子群 理論中極重要的建構。
在向量空間 的層次上，量子對同構於張量積
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A\otimes A^{*}}
(
A
,
S
)
{\displaystyle (A,S)}
域
k
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle S}
ϕ
(
,
)
:
A
⊗
A
∗
→
k
{\displaystyle \phi (,):A\otimes A^{*}\to k}
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
自然映射
A
→
A
⊗
1
⊂
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A\to A\otimes 1\subset A\otimes A^{*}}
A
∗
→
1
⊗
A
∗
⊂
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A^{*}\to 1\otimes A^{*}\subset A\otimes A^{*}}
∀
a
∈
A
,
b
∈
A
∗
,
(
a
⊗
1
)
⋅
(
1
⊗
b
)
=
a
⊗
b
{\displaystyle \forall a\in A,b\in A^{*},\;(a\otimes 1)\cdot (1\otimes b)=a\otimes b}
承上，
(
1
⊗
b
)
⋅
(
a
⊗
1
)
=
∑
(
a
)
,
(
b
)
ϕ
(
S
−
1
(
a
(
1
)
)
,
b
(
1
)
)
ϕ
(
a
(
3
)
,
b
(
3
)
)
a
(
2
)
⊗
b
(
2
)
{\displaystyle (1\otimes b)\cdot (a\otimes 1)=\sum _{(a),(b)}\phi (S^{-1}(a_{(1)}),b_{(1)})\phi (a_{(3)},b_{(3)})a_{(2)}\otimes b_{(2)}}
任取一組基
a
i
∈
A
{\displaystyle a_{i}\in A}
b
i
∈
A
∗
{\displaystyle b_{i}\in A^{*}}
R
:=
∑
i
(
1
⊗
a
i
)
⋅
(
b
i
⊗
1
)
∈
D
ϕ
(
A
,
A
∗
)
⊗
2
{\displaystyle R:=\sum _{i}(1\otimes a_{i})\cdot (b_{i}\otimes 1)\in {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})^{\otimes 2}}
與基的選取無關，並滿足
R
{\displaystyle R}
R
⋅
Δ
(
−
,
−
)
=
Δ
o
p
(
−
,
−
)
⋅
R
{\displaystyle R\cdot \Delta (-,-)=\Delta ^{\mathrm {op} }(-,-)\cdot R}
Δ
⊗
i
d
=
R
13
R
23
{\displaystyle \Delta \otimes \mathrm {id} =R_{13}R_{23}}
i
d
⊗
Δ
=
R
13
R
12
{\displaystyle \mathrm {id} \otimes \Delta =R_{13}R_{12}}
是故
R
{\displaystyle R}
A
⊗
A
∗
{\displaystyle A\otimes A^{*}}
半三角結構 。通常將此量子對記為
D
ϕ
(
A
,
A
∗
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})}
C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot invariants , Panoramas et Syntheses, no. 5 (1997), Société Mathématique de France, ISBN 2-85629-055-8 .
Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley (1994) : A Guide to Quantum Groups , ISBN 0521558840 
