费马大定理

  关于以皮埃尔·德·费马命名的其他定理，请见「费马定理」。

費馬大定理（亦名费马最後定理，法語：Le dernier théorème de Fermat，英語：Fermat's Last Theorem），其概要為：

当整數$n>2$时，关于$x$, $y$, $z$的不定方程

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

無正整數解。

以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬最后定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得包括邵逸夫獎在内的数十个奖项。

歷史

丢番圖拉丁文譯本第11卷第8命题

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

“ 将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白處太小，写不下。 ”

畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富数论的内容，推动数论的发展。

欧拉在1770年的时候，证明$n=3$时定理成立。

1825年，高斯和热尔曼同时独立证明费马定理5次幂。

费马大定理提出之后的二百年內，對很多不同的特定的$n$，費馬大定理被證明。但对于一般情況，人们仍一籌莫展。

1908年，德国人「保羅·弗里德里希·沃爾夫斯凱爾」宣布以10万馬克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後，馬克大幅貶值，該奖金的吸引力也大幅下降。

1983年，格尔德·法尔廷斯證明莫德尔猜想。作为推论，对于给定的整数$n>2$，至多存在有限组互素的$a,b,c$使得$a^{n}+b^{n}=c^{n}$。

1986年，格哈德·弗賴（Gerhard Frey）提出“ε-猜想”：若存在$a,b,c$使得$a^{n}+b^{n}=c^{n}$，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線

$y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)$

會是谷山-志村猜想的一個反例。格哈德·弗賴的猜想隨即被肯尼斯·阿蘭·黎貝證實。此猜想顯示費馬大定理与橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒在一特例範圍内證明谷山志村猜想，弗賴的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用七年時間，在不為人知的情況下，得出證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審查證明的過程中，專家發現一個極為嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒之後用近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部分的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

在怀尔斯证明之前，沃爾夫斯凱爾委員會（Wolfskehl committee）收到数千个不正确的证明，所有纸张叠加达到约10英尺（3米）的高度。仅在第一年（1907—1908年）就提出621個证明，但到了20世纪70年代，各家證明方法的提出已經降至每個月大约3-4個。根据沃爾夫斯凱爾委員會评论家施里希廷（F. Schlichting）的说法，大多数证明都是基于学校教授的基本方法，并且提交证明的人大多“有技术教育但职业生涯失败”。用数学历史学家霍华德·伊夫斯的话来说，“费马大定理在数学里有一个特殊的现象，即在于它是错误证明数量最多的数学题。”

参见

• 索菲熱爾曼素數
• 維費里希素數
• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 數學猜想列表
• 費馬-卡塔蘭猜想

參考資料

書籍

• Singh, Simon. Fermat's enigma : the quest to solve the world's greatest mathematical problem. New York: Walker. 1997. ISBN 0-8027-1331-9. 
• Aczel, Amir. Fermat's last theorem : unlocking the secret of an ancient mathematical problem. New York: Four Walls Eight Windows. 1996. ISBN 978-1-56858-077-7. 

論文

• Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics 141. 1995: 443–551. （原始内容 (PDF)存档于2011-05-10）. 
• R.Taylor; A.Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141. 1995: 553–572. （原始内容存档于2004-12-04）. 
• Gerd Faltings. The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles (PDF). Notices of the AMS. 1995-07. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-12）. 
• Charles Daney. The Mathematics of Fermat's Last Theorem. （原始内容存档于2004-08-03）. 
• J J O'Connor; E F Robertson. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2001-08-04）.  The history of the problem.
• David Shay. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2007-02-02）.  The story and the history of the problem.