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馬丟函數

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MathieuCE 3D
MathieuSE 3D

馬丟函數(法語:Équation de Mathieu)是1868年法國數學家以米里迂·拉·馬丟法語Émile Mathieu因研究數學物理所推得的特殊函數,下列馬丟方程的解析解:

馬丟方程有兩個線性無關的解:

奇數解

MathieuCE(n, q, x),或記為,

偶數解

MathieuSE(n, q, x).或記為 稱為基本解[1]

周期性

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馬丟函數 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一個是周期為 的周期解,另一個不是。

馬丟函數 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 兩者都有是周期為(n≥2)的周期函數。 [1]

正交性

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特徵方程

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Mathieu Eigen value a(n,q)
Mathieu eigenvalue b(n,q)

馬丟方程的特徵方程是[1]

對於給定的v,q, 上列特徵方程給出無窮多個a、b解稱為特徵值。

特徵值的展開

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馬丟函數體特徵值可展開成級數:[2]

級數展開

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馬丟函數ce,se的級數展開[3]

傅立葉展開式

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馬丟函數的傅立葉展開:[3]

其中係數A,B滿足下列遞歸關係:[3]


關係式

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馬丟方程的基本解滿足下列關係:[3]:

=

郎斯基行列式:


特例

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夫洛開解

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Mathieu Floquet

馬丟函數中,如果 是一個周期為的解,並滿足下列條件

,其中與x 無關,則此解稱為夫洛開解。

級數展開

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 王竹溪 郭敦仁 603 引用錯誤:帶有name屬性「W」的<ref>標籤用不同內容定義了多次
  2. ^ Frank p659
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Frank p660 引用錯誤:帶有name屬性「F」的<ref>標籤用不同內容定義了多次
  • 王竹溪 郭敦仁 《特殊函數概論》 第十二章 馬丟函數 北京大學出版社 2000
  • Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010