隨機分析

隨機分析（stochastic calculus）是對隨機過程進行運算的概率論分支，主要內容有伊藤積分、隨機微分方程（又包括隨機偏微分方程和倒向隨機微分方程）等等。

隨機性模型是指含有隨機成份的模型。與確定性模型的不同可以很好地用以下例子解釋：在賭場裡賭大小，如果有人認為三次連開大第四次必然開小，那麼此人所用的既是確定性模型。但是常識告訴我們第四次的結果並不一定與之前的結果相關聯。在19世紀科學界深深地被黑天鵝效應和卡爾·波普爾的批判理性主義所影響。所以現代自然科學都以統計與歸納法作為理論基礎。大體說統計學是適用確定性模型與隨機性模型作比較的一門學科。

應用隨機分析的最知名的隨機過程是維納過程（得名於諾伯特·維納），用於模擬Louis Bachelier（1900）和愛因斯坦（1905）描述的布朗運動及受隨機力作用的粒子在空間的其他擴散過程。1970年代以來，維納過程被廣泛用於金融數學和經濟學中，以模擬股價和債券利率隨時間演化的過程。

隨機分析的主要形式是伊藤積分及其變分法相對的馬利阿溫積分。由於技術原因，伊藤積分對一般過程最有用，但相關的隨機積分在問題的表述（尤其是工科）中也經常有用。隨機積分可以很容易地轉化為伊藤積分，反之亦然。隨機積分的主要優點是遵循通常的鏈式法則，不需要伊藤引理，使問題可以用不變坐標系表達，這對於在Rⁿ以外的流形上發展隨機分析非常重要。但是，隨機積分不遵循控制收斂定理；因此，若不以伊藤形式重新表達積分，就很難證明結果。

伊藤積分

伊藤積分是隨機分析研究的核心。 $\int H\,dX$ 是為半鞅X和局部有界可預測過程H定義的。^{[來源請求]}

隨機積分

半鞅 $X$ 對另一個半鞅Y 的隨機積分，或Fisk–Stratonovich積分可用伊藤積分表示為

\int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},

其中[X, Y]_t^c表示X、Y的連續部分的二次協方差。代替的寫法是

\int _{0}^{t}X_{s}\,\partial Y_{s}

也用於表示隨機積分。

參看

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