等冪和差，又稱冪和差，指同是 n {\displaystyle n} 次冪的 a {\displaystyle a} 與 b {\displaystyle b} 的和與差，即 a n ± b n {\displaystyle a^{n}\pm b^{n}} 。
當 n {\displaystyle n} 為奇數時有：
a n + b n = ( a + b ) ∑ r = 1 n a n − r ( − b ) r − 1 = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + . . . + b n − 1 ) {\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})}
因尾項必須為 + b n − 1 {\displaystyle +b^{n-1}} ，故 n {\displaystyle n} 不能取偶數。
首項為1、公比為 q {\displaystyle q} 的等比數列求和後得出：
∑ r = 1 n q r − 1 = 1 + q + . . . + q n − 1 = q n − 1 q − 1 {\displaystyle \sum _{r=1}^{n}q^{r-1}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}}
設 q = a b {\displaystyle q={\frac {a}{b}}} ，換算後即有：
a n − b n = ( a − b ) ∑ r = 1 n a n − r b r − 1 = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + . . . + b n − 1 ) {\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})}
∑ r = 1 n a n − r b r − 1 = a n − 1 + a n − 2 b + . . . + b n − 1 = a n − b n a − b {\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}
∑ r = 1 n a n − r ( − b ) r − 1 = a n − 1 − a n − 2 b + . . . + b n − 1 = a n + b n a + b {\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}+b^{n}}{a+b}}}
注意 ∑ r = 1 2 n − 1 a 4 n − 2 − 2 r b 2 r − 2 {\displaystyle \sum _{r=1}^{2n-1}a^{4n-2-2r}b^{2r-2}} 可進行因式分解，例如：
a 4 + a 2 b 2 + b 4 = a 6 − b 6 a 2 − b 2 = ( a 3 + b 3 ) ( a 3 − b 3 ) ( a + b ) ( a − b ) = ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}={\frac {a^{6}-b^{6}}{a^{2}-b^{2}}}={\frac {(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{(a+b)(a-b)}}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}
另解： a 4 + a 2 b 2 + b 4 = a 4 + 2 a 2 b 2 + b 4 − a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − a 2 b 2 = ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}
次冪的
與
的和與差，即
。
為奇數時有：
，故不能取偶數。
的等比數列求和後得出：
，換算後即有：
可進行因式分解，例如：
