拉格朗日量

約瑟夫·拉格朗日

在分析力學裏，一個動力系統的拉格朗日量（英語：Lagrangian），又稱拉格朗日函數，簡稱「拉氏量」，是描述整個物理系統的動力狀態的函數，對於一般古典物理系統，通常定義為動能減去位能，以方程式表示為

${\mathcal {L}}=T-V$；

其中，${\mathcal {L}}$為拉格朗日量，$T$為動能，$V$為位能。

在分析力學裡，假設已知一個系統的拉格朗日量，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程式，稍加運算，即可求得此系統的運動方程式。

拉格朗日量是因數學家和天文學家約瑟夫·拉格朗日而命名。

在場論，若

$S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi (x),\partial \phi (x),x)d^{n}x$

是作用量，則拉格朗日方程式是

${\frac {\delta S}{\delta \phi }}=0$

概念

拉格朗日量是動能$T$與位能$V$的差值：

${\mathcal {L}}=T-V$。

通常，動能的參數為廣義速度${\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}$（符號上方的點號表示對於時間$t$的全導數），而位能的參數為廣義座標$q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t$，所以，拉格朗日量的參數為$q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t$。解析一個問題，最先要選擇一個合適的廣義坐標。然後，計算出其拉格朗日量。假定這些參數（廣義座標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程式來求得系統的運動方程式。

假設一個物理系統的拉格朗日量為${\mathcal {L}}$，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程式表示為

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0$；

其中，$t$是時間，$q_{i}$是廣義坐標，${\dot {q}}_{i}$是廣義速度。

拉格朗日量與作用量的關係

一個物理系統的作用量${\mathcal {S}}$是一種泛函，以數學方程式定義為

${\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt$；

其中，$L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$是系統的拉格朗日量，廣義坐標$\mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)$是時間$t$的函數，$t_{1}$和$t_{2}$分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的一次變分$\delta {\mathcal {S}}=0$，作用量${\mathcal {S}}$為平穩值，則$\mathbf {q} (t)$正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程式

詳盡相關導引，請參閱拉格朗日方程式。

對稱性與守恆量

主條目：諾特定理

根據諾特定理，根據物理系統的對稱性可以通過拉格朗日量導出守恆量。如果物理系統具有時間平移不變性則可以導出能量守恆。導出過程如下，思考拉格朗日量對於時間的全導數：

${\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$。

將拉格朗日方程式代入，可以得到

${\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$。

定義能量函數${\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)$為

${\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}$，

則能量函數與拉格朗日量有以下含時關係式：

${\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$。

假若系統具有時間平移不變性，即拉格朗日量顯性地與時間無關，${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0$，則能量函數是個常數：${\mathit {h}}=E$。稱這常數$E$為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。如果系統具有空間平移不變性，這個系統為動量守恆，守恆量動量為 ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$。

拉格朗日量的逆問題

主條目：拉格朗日力學的逆問題

1941年傑西·道格拉斯指出，對於任意常微分方程組$F_{i}(t,q_{j},q_{j}^{'},q_{j}^{''})=0$，存在作用量${\mathcal {S}}\ =\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt$使得其歐拉-拉格朗日方程式為方程組$F_{i}$的充分必要條件為：

${\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{''}}}={\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{''}}}$

${\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{'}}}-{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{'}}})$

${\frac {\partial F_{i}}{\partial q_{j}^{'}}}+{\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{'}}}=2{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial F_{j}}{\partial q_{i}^{''}}})$

這一條件又稱為亥姆霍茲條件。需要注意的是，這裡${\mathcal {L}}=T-V$不一定成立，作用量中的${\mathcal {L}}$可以是古典拉格朗日的變形。例如：方程式$x^{''}+bx^{'}+\omega ^{2}x=0$，對應的拉格朗日量為${\mathcal {L}}=e^{bt}({\frac {x^{'2}}{2}}-{\frac {\omega ^{2}x^{2}}{2}})$

拉格朗日表述

重要性

拉格朗日表述是古典力學的一種重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因為它可以廣泛應用在古典力學；而更是因為它能夠幫助物理學家更深刻地了解一個物理系統的物理行為。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述古典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程式的平穩作用量原理，現在已被學術界公認為在量子力學也極具功用。

優點

• 拉格朗日表述不會被任何坐標系統捆綁住。拉格朗日表述使用廣義坐標來描述系統的空間參數。它所涉及的物理量是動能與位能，這些物理量的值不會隨廣義坐標的選擇而改變。因此，對於系統的種種約束，可以選擇一組最合適的廣義坐標，來計算問題的解答。

• 拉格朗日表述能夠簡易地延伸至其他學術領域。電路學、量子力學、粒子物理學、等等，都可以用拉格朗日表述來分析。

• 如果用同樣的表述可以分析不同學術領域的物理系統，這些系統必定有結構上的類推。在一個學術領域的新發現，意味著很可能在另一個學術領域會有類似的現象。

可略坐標和守恆定律

拉格朗日量有一個優良的性質，那就是守恆定律可以很容易地從它的表達式讀出來。例如，假設拉格朗日量${\mathcal {L}}$跟某廣義速度${\dot {q}}_{2}$有關，而跟廣義坐標$q_{2}$無關，則對應的廣義動量$p_{2}$是一個守恆量。這種坐標稱為「可略坐標」，或「循環坐標」。更詳細地說，拉格朗日量的形式為

${\mathcal {L}}(q_{1},q_{3},q_{4},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},{\dot {q}}_{4},\dots ;t)$。

直接檢視，就可以發覺${\mathcal {L}}$跟$q_{2}$無關，因此可以推斷$p_{2}$是一個守恆量。

以此類推，假設，時間$t$不在${\mathcal {L}}$的表達式裏面，則哈密頓量守恆，即能量守恆。這種物理行為是諾特定理的一個特別案例。關於能量守恆問題，稍後會有更詳細解說。

古典力學實例

假設，在三維空間裏，一個運動中的粒子的動能為$T={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x_{1}}}^{2}+{\dot {x_{2}}}^{2}+{\dot {x_{3}}}^{2})$，位能為$V(r)$，則拉格朗日量是

${\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(r)$；

其中，$m$是粒子質量，$\mathbf {r}$是位置向量，$v$是粒子的速度。

直角坐標系

採用直角坐標系。那麼，拉格朗日方程式就是

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3$；

其中，$x_{i}$是位置向量$\mathbf {r}$的第$i$個直角坐標分量。

那麼，

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)=m{\ddot {x}}_{i}$、

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}$。

這物理系統的運動方程式為

$m{\ddot {\mathbf {r} }}+{\boldsymbol {\nabla }}V=0$。

由於位能對於位置的負梯度是作用力：$\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(r)$，所以，

$\mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {r} }}$。

這方程式與牛頓第二運動定律方程式完全相同。由此可以觀察出，拉格朗日表述與牛頓表述的功能相等。

能量函數${\mathit {h}}$為

${\mathit {h}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x}}_{i}-{\mathcal {L}}=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(\mathbf {r} )=T+V=E$，

由於拉格朗日量顯性地與時間無關，能量函數${\mathit {h}}$是個常數$E$。

球坐標系

假設選擇球坐標系，則拉格朗日量是

${\mathcal {L}}(r,\ \theta ,\ \varphi ,\ {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$；

其中，$r$是徑向距離，$\theta$是天頂角，$\varphi$是方位角。

稍加運算，得到運動方程式為：

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}=m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {dV}{dr}}=0$、

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0$、

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0$。

特別注意，${\mathcal {L}}$跟$\varphi$無關。所以，$\varphi$是可略坐標，角動量的z-分量$L_{z}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}$是常數。

檢驗粒子的拉格朗日量

假定檢驗粒子的質量和電荷超小，其對於外在系統的影響可以忽略。檢驗粒子時常可以想像為簡單的質點粒子，只擁有質量和電荷性質。像電子或上夸克一類的真實粒子具有更複雜的性質，它們的拉格朗日量含有更多項目。

狹義相對論裏的拉格朗日量

在狹義相對論的四維空間裏，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-V$；

其中，$m$是粒子的靜質量，$c$是光速，$v$是粒子的速度。

其拉格朗日方程式為

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=0$；

其中，$\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$是勞侖茲因子。

注意到動量$p_{i}=\gamma m{\dot {x}}_{i}$、作用力$F_{i}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}$。將這些公式代入拉格朗日方程式，就可複製牛頓第二定律的方程式：

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$。

因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

這粒子的廣義動量$p_{i}$定義為

$p_{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=\gamma m{\dot {x}}_{i}$。

• 假設這物理系統的位能為零，這粒子是自由粒子，則此系統的能量函數$h$為

$h=\sum _{i=1}^{3}\gamma m{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}=\gamma mv^{2}+mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\gamma mc^{2}$。

這是質能方程式：粒子的總能量等於其質量乘以光速平方

• 假設粒子速度遠小於光速，則拉格朗日量的動能部分可以近似為

$-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\approx -mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}\right)=-mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}=-mc^{2}+T$。

靜質量的能量$mc^{2}$是個常數，可以忽略（其變分等於零）。相對論性拉格朗日量又變回古典拉格朗日量：

${\mathcal {L}}=T-V$。

電動力學裏的相對論性拉格朗日量

一個移動於電磁場的帶電粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi (\mathbf {r} )+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$q$是帶電粒子的電荷量，$\phi$是電位，$\mathbf {A}$是磁向量勢。

其拉格朗日方程式為

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+q{\frac {dA_{i}}{dt}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}-q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}=0$。

所以，

${\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})=-q{\frac {dA_{i}}{dt}}+q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}$。

注意到作用力$\mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})$，電場$\mathbf {E} =-\nabla \phi$，磁場$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$。將這些公式代入上述方程式，經過一番運算，就可以得到勞侖茲力方程式：

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$。

這拉格朗日量可以複製出勞侖茲力方程式。因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

協變的拉格朗日量

前面這些拉格朗日量都不具有協變形式，當變換坐標系時，拉格朗日量的形式可能會有所改變。為了確保這形式不會改變，必須將拉格朗日量寫為協變形式。

對於自由粒子，作用量${\mathcal {A}}$為

${\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ dt$；

其中，$t_{1}$和$t_{2}$分別是初始時間和終結時間。

為了要使得拉格朗日量具有協變形式，必須引用張量來表達。採用愛因斯坦求和約定，注意到四維速度與自己的內積：

$U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=\gamma ^{2}c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$；

其中，$U^{\alpha }=X^{\prime \mu }={\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma (c,v_{1},v_{2},v_{3})$是四維速度，是四維坐標$X^{\alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})$對於固有時$\tau$的導數（撇號表示對於固有時$\tau$的導數）。

將積分元素從微小時間元素$dt$改變為微小固有時元素$d\tau$，由於$dt=\gamma d\tau$，協變的作用量可以寫為

${\mathcal {A}}=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{\frac {mc}{\gamma }}{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ \gamma d\tau =\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ d\tau$。

協變的拉格朗日量${\bar {\mathcal {L}}}$變為

${\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}$；

其中，$g_{\alpha \beta }$是閔可夫斯基度規。

其拉格朗日方程式為

${\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-\ {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {mc{X}_{\mu }^{\prime }}{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}}\right)=0$。

注意到約束$U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}$，這粒子只能運動於四維速度空間內的特定的三維曲面。將這約束代入上述方程式，可以正確地複製自由粒子的運動方程式。

${\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime })=m{X}_{\mu }^{\prime \prime }=0$。

電動力學裏的相對論性拉格朗日量的協變表述

現在假設這粒子是移動於電磁場的帶電粒子。電磁場的協變位勢可以寫為

$q\phi (\mathbf {r} )-q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })/\gamma$；

其中，$\mathbb {A} _{\alpha }=(\phi /c,-A_{1},-A_{2},-A_{3})$是電磁四維勢。

協變的拉格朗日量${\bar {\mathcal {L}}}$是

${\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}-qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })$。

其拉格朗日方程式為

${\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-{\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime }+q\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}=0$。

經過一番運算，可以得到

${\begin{aligned}m{X}_{\mu }^{\prime \prime }&=-q{\frac {d}{d\tau }}(\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=-q{\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=qU^{\alpha }\left({\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}-{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}\right)\\&=qU^{\alpha }F_{\mu \alpha }\\\end{aligned}}$

其中，$F_{\mu \alpha }$是電磁張量。

這正是勞侖茲力方程式的協變形式。總結，協變的拉格朗日方程式可以複製出協變的勞侖茲力方程式。

場論例子

電磁學

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\left(-{\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \star \mathbf {F} +\mathbf {A} \wedge \star \mathbf {J} \right)$

$\mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J}$

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$

量子電動力學

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }=i\hbar c{\bar {\psi }}{D}\!\!\!\!/\ \psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

量子色動力學

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}\left(i\hbar c{\bar {\psi }}_{n}{D}\!\!\!\!/\ \psi _{n}-m_{n}c^{2}{\bar {\psi }}_{n}\psi _{n}\right)-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }$

楊-米爾斯場論

包括QED、量子色動力學、等

廣義相對論

主條目：愛因斯坦-希爾伯特作用量

廣義相對論中拉格朗日量密度為：

${\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}$

其中，$\Lambda$為宇宙學常數，$R$是里奇曲率張量和度規張量的縮並。$L_{EH}$被稱為愛因斯坦-希爾伯特作用量。廣義相對論的拉格朗日量可以寫成類似於楊-米爾斯方程式的形式，這被稱為愛因斯坦-楊-米爾斯作用量。這是注意到大多數微分幾何在具有仿射聯絡和李群的纖維叢上表現得很好後得到的結果。通過加入對稱群$SO(3,1)$就可以得到上面的結果。

通過對$g_{\mu \nu }$變分得到相應的歐拉-拉格朗日方程式：

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

這也被稱為愛因斯坦場方程式。

$T_{\mu \nu }$是能動張量，定義如下：

$T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }$

其中，$g$為度規張量的行列式。在廣義相對論中，拉格朗日密度積分時的提及元變為${\sqrt {-g}}d^{4}x$。這使得積分和坐標無關，因為這個平方根就是雅可比行列式。負號是為了使根號下為正。

相對論

主條目：彎曲時空中的馬克士威方程組

在廣義相對論下，包含愛因斯坦-希爾伯特作用量電磁場的拉格朗日密度為： ${\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein-Hilbert}}\end{aligned}}$ 純的電磁場拉格朗日密度正是物質的拉格朗日量${\mathcal {L}}_{matter}$。將彎曲時空$g_{\mu \nu }(x)$替換閔氏時空拉格朗日量中的閔考斯基矩陣可以簡單得到這個形式。我們可以得到在電磁場中的愛因斯坦場方程式。能動張量為：

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$ 能動張量是無跡的：

$T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0$

如果同時對愛因斯坦場方程式兩邊同時縮並：

$R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T$

這意味著曲率張量也是無跡的，方程式可以化簡為：

$R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$

另外，彎曲時空的馬克士威方程組為：

$D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }$

其中，$D_{\mu }$為協變導數。對於四維時空來說，我們可以假設四維電流為0, $j^{\mu }=0$。在自由空間球對稱物質分布條件下同時解這兩個方程式，得到的解是賴斯納-努德斯特倫度規，在自然單位制下帶有電荷量為$Q$的黑洞度規可以寫成下面的形式：

$ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}$

一個可能的統一電磁場和重力場的理論是卡魯扎-克萊因理論。卡魯扎-克萊因理論考慮了一個類似於楊-米爾斯方程式的仿射叢，作用量可以分為4維部分和1維部分。不幸的是該理論未能包含全部的標準模型。

參見

• 哈密頓量
• 哈密頓原理
• 拉格朗日力學
• 拉格朗日方程式
• 哈密頓力學
• 最小作用量原理
• 變分法
• 諾特定理
• 泛函導數
• 泛函積分（路徑積分表述）