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微分代數

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微分代數(英語:Differential algebra)是代數學的一個分支,在代數中裝備一個導子就可以得到微分代數。此外,在數學中,微分環、微分域和微分代數是代數裝備一個導子,一個滿足萊布尼茲乘積法則一元函數。微分域的一個自然例子是複數域上的單變元有理函數 C(t),其導子是關於 t 的微分。

微分環

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一個微分環 R 是裝備一個或多個導子的環

使得每個導子滿足萊布尼茲乘積法則

對任何 。注意環可能不交換,從而稍微標準的交換環情形的乘積法則 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果 是環上的乘法,乘積法則是恆等式

這裡 表示函數將二元組 映到二元組

微分域

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一個微分域是帶有一個導子的域 K。微分域 DF 的理論,由通常域公理與另外關於導子的兩個公理。和上面一樣,導子在域的元素上必須服從乘積法則,或萊布尼茲法則,這是導子稱為導子的原因。即對域中任何兩個元素 uv

由於域上的乘法可交換。導子也必須對域加法有分配律

如果 K 是一個微分域則常數域

微分代數

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K 上一個微分代數是一個 K-代數 A,其中的導子與域可交換。即對所有

在不用指標記法中,如果 是定義了環上數量乘法的環同態,則有

同上導子對代數乘法必須服從萊布尼茲法則,以及對加法線性。從而,對所有

以及

李代數上的導子

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李代數 上一個導子是一個線性 滿足萊布尼茲法則:

對任何 上一個導子,這由雅可比恆等式可得。任何這樣的導子稱為內導子

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如果 有單位,則 ∂(1) = 0 這是因為 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如,在特徵零的微分域中,有理數總是常數域的子域。

任何域可以簡單地理解為一個常數微分域。

Q(t) 具有惟一的結構成為一個微分域,由令 ∂(t) = 1 確定:域公理與導子的公理奇異保證導子是關於 t 的導數。例如,由乘法與萊布尼茲法則的交換性有 ∂(u2) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。

微分域 Q(t) 對微分方程

沒有解。但擴充成包括函數 et 的更大的微分域,則這個方程有解。對任何微分方程系統有解的微分域稱為微分閉域。這樣的域存在,儘管它們不是作為代數或幾何對象自然出現的。任何微分域(有界基數)嵌入一個大微分閉域。微分域是微分伽羅瓦理論中的研究對象。

自然出現的導子例子是偏導數李導數Pincherle導數英語Pincherle derivative與關於這個代數中一個元素的交換子。所有這些例子是密切聯繫的,導子的概念將它們統一起來。

偽微分算子環

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微分環和微分域經常通過研究它們上面的偽微分算子來研究。

這是環

這個環上的乘法定義為

這裡 二項式係數。注意到恆等式

這裡利用了恆等式

另見

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參考文獻

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  • Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
  • I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
  • E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
  • D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
  • A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

外部連結

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