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完備性 (統計學)

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統計學中, 完備性,又稱完全性統計量的一個性質。 從本質上講,它確保不同的母數值對應的分布是不同的。一個具有完備性的統計量稱為完全統計量

定義

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考慮一個隨機變數 ,其機率分布 為母數。稱一個統計量 完全的,若對任意可測函數 [1]

如果對所有 都有 ,則 對所有 都成立。

若對上述函數 加上有界的條件,則稱該統計量為有界完全的

例子

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是來自母數為伯努利分布的獨立隨機樣本,其中。統計量的完全統計量。注意到服從母數為二項分布。若有某個,使得都成立,則

,則多項式上恆為0。可知其每一項係數都為0,進而得到。由定義,的完全統計量。

完備性的重要性

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巴蘇定理

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界完備性出現在巴蘇定理中,[2] 它指出任何有界完全且充分的統計量與任何輔助統計量獨立。

Bahadur定理

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有界完備性也出現在Bahadur定理中。 定理指出,當至少存在一個最小充分統計量時,如果一個統計量是充分的並且有界完全的,則它是一個最小充分統計量。

注釋

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  1. ^ Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University Press.
  2. ^ Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press.

參考文獻

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