參數方程式

用參數方程式可以很容易表示出的蝶形線

參數方程式（英語：Parametric equation）和函數相似，都是由一些在指定的集合的數，稱為參數或自變數，以決定因變數的結果。例如在運動學，參數通常是「時間」，而方程式的結果是速度、位置等。

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數：

${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$

並且對於t的每一個允許的取值，由方程組確定的點(x, y)都在這條曲線上，那麼這個方程式就叫做曲線的參數方程式，聯繫變數x、y的變數t叫做參變數，簡稱參數。相對而言，直接給出點坐標間關係的方程式叫普通方程式。

例

$x=a\cos(t),y=a\sin(t)$，表示了平面上半徑為$a$、以原點為圓心的圓。在三維，加入$z=bt$，便是螺旋的圖形。這些式子可以表示成：

$r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,$

如果有一個粒子，沿這個螺旋的路徑而行，直接微分上面的式子便會得到粒子的速度：

$v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,$

及加速度：

$a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,$

參數曲線亦可以是多於一個參數的函數。例如參數表面是兩個參數(s,t)或(u,v)的函數。

譬如一個圓柱：

$r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(a\cos(u),a\sin(u),v)\,$

參數是參變數的簡稱。它是研究運動等一類問題中產生的。質點運動時，它的位置必然與時間有關係，也就是說，質的坐標x，y與時間t之間有函數關係x＝f(t)，y＝g(t)，這兩個函數式中的變量t，相對於表示質點的幾何位置的變量x，y來說，就是一個「參與的變量」。這類實際問題中的參變量，被抽象到數學中，就成了參數。我們所學的參數方程式中的參數，其任務在於溝通變量x，y及一些常數之間的聯繫，為研究曲線的形狀和性質提供方便。

用參數方程式描述運動規律時，常常比用普通方程式更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較複雜的曲線（例如圓的漸開線），建立它們的普通方程式比較困難，甚至不可能，列出的方程式既複雜又不易理解，如圓的漸開線的普通方程式。

根據方程式畫出曲線十分費時；而利用參數方程式把兩個變量x，y間接地聯繫起來，常常比較容易，方程式簡單明確，且畫圖也不太困難。

常見參數方程式

${\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}$

圓形參數方程式在r=1的情形。

• 直線：
  • 點斜式過$(x_{0},y_{0})$，斜率為$m$的直線: ${\begin{cases}x=x_{0}+t\\y=y_{0}+mt\end{cases}}$
  • 點向式過$(x_{0},y_{0})$, 方向向量為$(u,v)$的直線：${\begin{cases}x=x_{0}+ut\\y=y_{0}+vt\end{cases}}$
• 圓：${\begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{cases}}$
• 橢圓：${\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}$
• 雙曲線：${\begin{cases}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{cases}}$
• 拋物線：${\begin{cases}x=2ct\\y=t^{2}\end{cases}}$
• 螺線：${\begin{cases}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{cases}}$
• 擺線：${\begin{cases}x=r\cdot \left(t-\sin t\right)\\y=r\cdot \left(1-\cos t\right)\end{cases}}$

註：上文中的$a,b,c,h,k,l,m,p,r,x_{0},y_{0},u,v$為已知數，t都為參數， x, y為變量

參見

• 隱方程式
• 極坐標系