熱傳(heat transfer)有三種方式:
- 熱傳導(heat conduction):一個分子向另一個分子傳遞振動能,使熱能從高溫向低溫部分轉移。各種材料的熱傳導性能不同,傳導性能好的,如金屬,還包括了自由電子的移動,所以熱傳播速度快,可以做熱交換器材料;傳導性能不好的,如石棉,可以做熱絕緣材料。
- 熱對流(heat convection):是指由於流體的宏觀運動而引起的流體各部分之間發生相對位移,冷熱流體相互摻混所引起的熱量傳遞過程。不同的溫度導致引起系統的密度差是造成對流的原因。對流傳導因為牽扯到動力過程,所以比直接傳導迅速。
- 熱輻射(heat radiation):是直接通過電磁波輻射向外發散熱量,傳導速度取決於熱源的絕對溫度,溫度越高,輻射越強。
根據熱傳播的方式和工藝要求,設計熱交換器,幾乎各種化學工業都有熱交換過程,需要各種熱交換器。
熱傳遞以其所有模式(即傳導,對流和輻射)發生,一般運輸方程的微分形式如下:[1]
|
(1)
|
可以通過有限差分法(FDM),有限體積法(FVM)和有限元素法(FEM)獲得上述方程的數值解。為了進行熱傳播分析,將等式(1)中的純量函數ф替換為溫度(T),將擴散係數Γ替換為導熱係數k和源項
由發熱項e或任何熱輻射源代替
或兩者兼而有之(取決於可用來源的性質),並且針對不同情況存在不同形式的方程式。為了簡單和容易理解,僅討論了一維情況。
可以通過以下兩種方式對物體進行熱傳播分析
- 穩態熱分析
- 瞬態熱分析
穩態熱分析包括以下類型的控制微分方程。
情況1 :一般穩態導熱方程。
在這種情況下,控制微分方程(1)變為:
![{\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3685d602eba40c1f0cef203353e6d7adceb38daa)
情況2 :穩態熱傳導方程(不產生熱量)
在這種情況下,控制方程(1)變為:
![{\displaystyle {div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cee1578dd7643d63dff36139686ba096c00cf0)
情況3 :穩態熱傳導方程(不產生熱,不對流)
在這種情況下,控制微分方程(GDE)(1)變為:
![{\displaystyle {div\,(k\,grad\,T)}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6a57ba711795ddf3cbd1a5355e83d7a50da4f1)
瞬態熱分析包括以下類型的控制微分方程。
情況1 :瞬態熱傳導
在這種情況下,控制微分方程(1)變為:
![{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}+{S_{T}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7e59ff8caa76d57ac9219a417ea868cdd181f9)
情況2 :瞬態熱傳導(不發熱)
在這種情況下,控制微分方程(GDE)(1)變為:
![{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}+{div\,(\rho uT)}={div\,(k\,grad\,T)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b21719d3a99bdd5ce7eee73d4422fa40544987)
情況3 :瞬態熱傳導(不產生熱也沒有對流)
在這種情況下,控制微分方程(GDE)(1)變為:
![{\displaystyle {\frac {\partial {(\rho T)}}{\partial t}}={div\,(k\,grad\,T)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8968771aadd59187bea0293d19295cd743eacbeb)
考慮某物體厚度為L,發熱為e,導熱係數為k。將物體細分為M個相等的厚度區域
= x / T沿x方向,距一定間格分割為各節點,如圖2所示。
圖2:平面壁一維傳導有限差分公式的節點和體積單元
如圖所示,x方向上的整個牆區域按元素劃分,所有內部元素的大小相同,而外部元素的大小為一半。
現在,要獲得內部節點的有限差分解,請考慮由節點m表示的元素,該元素被相鄰節點m-1和m + 1包圍。 有限差分技術假定牆壁中的溫度線性變化(如圖3所示)。
有限差分解決方案是(對於除0和最後一個節點之外的所有內部節點):
![{\displaystyle {\frac {(T_{m-1}^{i}-2T_{m}^{n}+T_{m}^{i})}{\Delta {x}^{2}}}+{\frac {e}{k}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb8c1cae51b3e00af6ed9c9d67035d2603f7b22)
圖3:有限差分公式中的線性溫度變化
上式僅對內部節點有效。為了獲得外部節點的解決方案,我們必須應用如下邊界條件(如適用)。[2]
邊界絕緣時(q = 0)
![{\displaystyle hA{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3f30da7f553ca68962d960c60a4bc2044419eb)
![{\displaystyle \epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9debb4175a88b7ce3571f7288d42e43f127102a7)
![{\displaystyle hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6727c903583dd137491925052201a5cebe7dc476)
如圖4所示,或當將輻射和對流熱傳播係數組合時,上式如下:
![{\displaystyle hA_{combined}{(T_{\infty }-T_{0})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fb33e70336213f7ef4c5e4cdbc690009113dd8)
圖4:平面壁左邊界上對流和輻射相結合的有限差分公式的示意圖
![{\displaystyle q_{0}A+hA{(T_{\infty }-T_{0})}+\epsilon \sigma A{(T_{sur}^{4}-T_{0}^{4})}+kA{\frac {(T_{1}-T_{0})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{0}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed29a9b805caaeef98785c1c8e9053834dfb417)
在非均質物體,如複合壁中,具有不同熱物理特性的不同物質緊密接合在一起。假定兩種不同的固體介質A和B完全接觸,因此在節點m的界面處具有相同的溫度(如圖5所示)。
![{\displaystyle k_{A}A{\frac {(T_{m-1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+k_{B}A{\frac {(T_{m+1}-T_{m})}{\Delta {x}}}+{\frac {e_{A,m}}{2}}A\Delta {x}+{\frac {e_{B,m}}{2}}A\Delta {x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3dc852096aa9f926ad2de9d122f80a9f36d03e0)
圖5:兩種具有完美熱接觸的介質A和B的界面邊界條件的有限差分示意圖
在上式中,
=表示指定的熱通量在
,
h =對流係數,
=對流和輻射的總純熱係數,
=周圍表面的溫度,
=環境溫度,
=初始節點的溫度。
到
之間的熱流關係,也可適用於
到
之間;將
到
之間的熱流串聯,便能得經過該複合牆面,從室外到室內的熱流。
瞬態熱分析比穩定熱分析更重要,因為該分析包括隨時間變化的環境條件。在瞬態熱傳導中,溫度隨時間和位置而變化。如圖6所示,瞬態熱傳導的有限差分法解除了空間離散以外,還需要時間步階離散。
圖6:有限差分隨時間變化的問題涉及時間以及空間上的離散點
如圖7所示,存在平面壁中一維傳導有限差分法瞬態公式的節點和體積元素。
圖7:平面壁一維瞬態有限差分公式的節點和體積元素
對於這種情況,方程式(1)的有限差分顯式解如下:
![{\displaystyle kA{\frac {(T_{m-1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+kA{\frac {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}{\Delta {x}}}+{e_{m}}A\Delta {x}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{m}^{i+1}-T_{m}^{i})}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc9f43d3ecd125d8b888cf62bc910adf018da28)
上面的方程可以針對溫度明確求解
給
![{\displaystyle {T_{m}^{i+1}}=\tau {(T_{m+1}^{i}-T_{m}^{i})}+{(1-2\tau )}T_{m}^{i}+\tau {\frac {(e_{m}\Delta {x}^{2})}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b375f892b93733ffe69ad29d014c07377d6956a5)
此處,
![{\displaystyle \tau ={\frac {(\alpha \Delta t)}{\Delta x^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a410f6c0da720545c5ba78c44cba75cbbb7bb5)
和
![{\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33253d1236d0cc73949c28d42df6567192579f6a)
這裡,
代表細胞傅立葉號,
代表熱擴散率
代表恆壓下的比熱,
代表時間步長,
代表空間步長。
上面的等式對所有內部節點均有效,並找到第一個和最後一個節點的關係,應用邊界條件(如適用),如穩態熱傳播中所述。對於對流和輻射邊界,如照射物體的太陽輻射
,單位為
,反照率常數K已知,與溫度的關係如下:
![{\displaystyle hA{(T_{\infty }^{i}-T_{0}^{i})}+\kappa Aq_{solar}=(\rho c_{p}\Delta xA){\frac {(T_{1}^{i}-T_{0}^{i})}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a113b99a24bf0350bdb13b4dd78ed959b03af281)
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