雅可比猜想(Jacobian conjecture)是多变量多项式的一个著名问题,最初是由数学家凯勒(Ott-Heinrich Keller)于1939年提出,之后Shreeram Abhyankar取现名,并将之广为传播,以作为代数几何的问题中,只需稍多于微积分的知识就能阐述的一个例子。
雅可比猜想直至2017年仍未得到正确证明。
雅可比行列式[编辑]
令n>1为固定的整数,考虑多项式F1, ... , Fn,变量为X=(X1, ... , Xn),系数在特征为零的代数闭域k中。(可假设k为复数域
。)也就是说
。定义函数F: kn→kn为
- F(c1, ... , cn)=(F1(c1, ... , cn), ... , Fn(c1, ... , cn))
函数F的雅可比行列式JF是由F的偏导数组成的n×n矩阵的行列式
![{\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{n}}{\partial X_{n}}}\end{matrix}}\right|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f41832fcbc113c3ef53dfa87ea9bed85b2bdad)
JF也是变量为X的多项式函数。
多变量微积分的反函数定理指出如在某一点有JF ≠ 0,那么在该点附近F有反函数。由于k是代数闭域,JF是多项式,因此JF必定在某些点上为0,除非JF是非零的常数函数。以下是一项基本结果:
- 若F有反函数G: kn→kn,则JF是非零的常数函数。
而其反命题则为雅可比猜想:
令
为一特征为零的代数闭域。若
,
- JF是非零常数函数,(等价于以下条件:对于所有的
,
皆是可逆的线性变换)
则
有反函数,且此反函数亦属于
。
外部链接[编辑]